Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
(3) Supposons d’abord T ∈ S (E, F). Par le théorème de l’application ouverte (P 2.15),
il existe C > 0 tel que B F ⊂ T (CB E ). Si maintenant y
∗
∈ F
∗ , on obtient successivement
T
∗
y
∗
= sup
x∈B E
|T
∗
y
∗ (x)| = sup
x∈B E
|y
∗ (T x)| = sup
z∈T B E
|y
∗ (z)|
≥ sup
y∈
1
C B F
|y
∗ (y)| =
1
C
y
∗
.
D’après la question (1), cela implique T
∗
∈ I(F
∗
, E
∗ ).
Supposons maintenant T
∗
∈ I(F
∗
, E
∗ ). D’après (1), il existe α > 0 tel que
T
∗
y
∗
≥ αy
∗
, ∀y
∗
∈ F
∗
.
(IV.10)
Posons C =
1
α et fixons r ∈]0, 1[. Nous allons d’abord montrer l’inclusion
B F ⊂ CT (B E ) + rB F .
(IV.11)
En réalité, nous allons montrer l’inclusion plus forte
B F ⊂ CT (B E )
( IV.12)
mais l’inclusion plus faible (IV.11) nous suffira à conclure que
B F ⊂
C
1 − r
T (B E )
( IV.13)
et en particulier que T ∈ S (E, F), ce qui établira l’équivalence (IV.1). D’après HahnBanach (cf. P 3.14), (IV.12) revient à montrer que si y ∈ B F , on a
|y
∗ (y)| ≤ sup
z∈CT (B E )
|y
∗ (z)|.
(IV.14)
Or, le membre de droite de (IV.14) vaut, via (IV.10) :
C sup
x∈B E
|y
∗ (T x)| = C sup
x∈B E
|T
∗
y
∗ (x)| = CT
∗
y
∗
≥ ≥y
∗
tandis que, puisque y ∈ B F , le membre de gauche de (IV.14) est majoré par y
∗
, ce qui
prouve (IV.14) et (IV.12), a fortiori (IV.11). Pour passer de (IV.11) à (IV.13), on emploie
un argument de série qui sera détaillé dans l’exercice suivant, et qu’on se contente donc
d’esquisser ici : soit y ∈ B F ; on construit par récurrence une suite (x n ) de points de
norme ≤ C telle que, pour tout entier n ≥ 1 :
y −
n
j=1
r
j−1 T x j ≤ r
n
.
(IV.15)
Ensuite, la série
∞
j=1 r
j−1 x j est absolument convergente dans E complet, donc converge
vers x ∈ E tel que
x ≤
∞
j=1
Cr
j−1
=
C
1 − r
,
98
(3) Supposons d’abord T ∈ S (E, F). Par le théorème de l’application ouverte (P 2.15),
il existe C > 0 tel que B F ⊂ T (CB E ). Si maintenant y
∗
∈ F
∗ , on obtient successivement
T
∗
y
∗
= sup
x∈B E
|T
∗
y
∗ (x)| = sup
x∈B E
|y
∗ (T x)| = sup
z∈T B E
|y
∗ (z)|
≥ sup
y∈
1
C B F
|y
∗ (y)| =
1
C
y
∗
.
D’après la question (1), cela implique T
∗
∈ I(F
∗
, E
∗ ).
Supposons maintenant T
∗
∈ I(F
∗
, E
∗ ). D’après (1), il existe α > 0 tel que
T
∗
y
∗
≥ αy
∗
, ∀y
∗
∈ F
∗
.
(IV.10)
Posons C =
1
α et fixons r ∈]0, 1[. Nous allons d’abord montrer l’inclusion
B F ⊂ CT (B E ) + rB F .
(IV.11)
En réalité, nous allons montrer l’inclusion plus forte
B F ⊂ CT (B E )
( IV.12)
mais l’inclusion plus faible (IV.11) nous suffira à conclure que
B F ⊂
C
1 − r
T (B E )
( IV.13)
et en particulier que T ∈ S (E, F), ce qui établira l’équivalence (IV.1). D’après HahnBanach (cf. P 3.14), (IV.12) revient à montrer que si y ∈ B F , on a
|y
∗ (y)| ≤ sup
z∈CT (B E )
|y
∗ (z)|.
(IV.14)
Or, le membre de droite de (IV.14) vaut, via (IV.10) :
C sup
x∈B E
|y
∗ (T x)| = C sup
x∈B E
|T
∗
y
∗ (x)| = CT
∗
y
∗
≥ ≥y
∗
tandis que, puisque y ∈ B F , le membre de gauche de (IV.14) est majoré par y
∗
, ce qui
prouve (IV.14) et (IV.12), a fortiori (IV.11). Pour passer de (IV.11) à (IV.13), on emploie
un argument de série qui sera détaillé dans l’exercice suivant, et qu’on se contente donc
d’esquisser ici : soit y ∈ B F ; on construit par récurrence une suite (x n ) de points de
norme ≤ C telle que, pour tout entier n ≥ 1 :
y −
n
j=1
r
j−1 T x j ≤ r
n
.
(IV.15)
Ensuite, la série
∞
j=1 r
j−1 x j est absolument convergente dans E complet, donc converge
vers x ∈ E tel que
x ≤
∞
j=1
Cr
j−1
=
C
1 − r
,
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