Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
(b) ⇒ (c).
Soit maintenant, 0 y ∈ Im(T ) , alors
y
y
∈ B Im(T ) ⊆ CT (B E ). Donc il existe x
∈
E tel que x
≤ C et
y
y = T (x
). D’où, avec x = yx
, les relations y = T (x) et
x = y x
≤ Cy.
(c) ⇐ (a).
Cette question a déjà été traitée en détail dans (1) de l’Ex. IV.9.
(2) Supposons T surjective. D’après (1), on a
∃C > 0 tel que B F ⊂ CT (B E ).
Sans perte de généralité, quitte à remplacer T par
T
C , on peut supposer C = 1. Soit
0 < r < 1 et soit U ∈ L(E, F) tel que T − U < r. Montrons que U est surjective.
Soit y = y 1 ∈ B F . Alors ∃ x 1 ∈ B E tel que T x 1 = y 1 (on a supposé C = 1).
Soit y 2 = (T − U)x 1 . On voit que
y 2 = (T − U)x 1 ≤ ≤T − S x 1 ≤ r.
Donc, ∃ x 2 ∈ E; T x 2 = y 2 , et x 2 ≤ r.
Par récurrence, on construit une suite (x n ) n≥1 telle que
T x n = y n et y n+1 = (T − U)x n ; y n+1 ≤ r
n ; x n+1 ≤ r
n
.
On a alors pour chaque entier n ≥ 1 la relation
y = y 1 = U x 1 + U x 2 + . . . + U x n + y n+1 .
Mais puisque x n+1 ≤ r
n , la série
n≥1 x n est convergente car absolument convergente
dans E complet, soit x =
n≥1 x n sa somme. On a clairement U x = y. Ceci montre que U
est surjective. Et par conséquent l’ensemble S (E, F) des surjections linéaires continues
forme un ouvert de L(E, F), résultat qu’on a vu dans l’Ex. IV.9 par une autre méthode.
(3) Cette question est posée à titre culturel, pour attirer l’attention du lecteur sur le
fait que les ouverts I(E, F) et S (E, F) peuvent être tous deux vides, même dans des cas
« plausibles ». Soit par exemple E =
q
, F =
p avec 1 ≤ p < q < ∞, des Banach
séparables de dimension infinie. D’après un théorème de Pitt, tout opérateur T : E → F
est compact, donc ne saurait être injectif d’image fermée : I(E, F) = ∅. Il n’est pas
non plus surjectif, car son image ne contient aucun sous-espace fermé G de dimension
infinie (cf. Ex. VII.17). Voici une preuve directe de cette assertion : soit G ⊂ ImT puis
E 0 = T
−1 (G) et T : E 0 → G, une surjection, donc. Par le théorème de l’application
ouverte (D 2.6 et P 2.14), applicable puisque E 0 et G sont des Banach, il existe une
constante C > 0 telle que B G ⊂ CT (B E 0 ), où B G et B E 0 désignent les boules unité
fermées des espaces considérés.
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(b) ⇒ (c).
Soit maintenant, 0 y ∈ Im(T ) , alors
y
y
∈ B Im(T ) ⊆ CT (B E ). Donc il existe x
∈
E tel que x
≤ C et
y
y = T (x
). D’où, avec x = yx
, les relations y = T (x) et
x = y x
≤ Cy.
(c) ⇐ (a).
Cette question a déjà été traitée en détail dans (1) de l’Ex. IV.9.
(2) Supposons T surjective. D’après (1), on a
∃C > 0 tel que B F ⊂ CT (B E ).
Sans perte de généralité, quitte à remplacer T par
T
C , on peut supposer C = 1. Soit
0 < r < 1 et soit U ∈ L(E, F) tel que T − U < r. Montrons que U est surjective.
Soit y = y 1 ∈ B F . Alors ∃ x 1 ∈ B E tel que T x 1 = y 1 (on a supposé C = 1).
Soit y 2 = (T − U)x 1 . On voit que
y 2 = (T − U)x 1 ≤ ≤T − S x 1 ≤ r.
Donc, ∃ x 2 ∈ E; T x 2 = y 2 , et x 2 ≤ r.
Par récurrence, on construit une suite (x n ) n≥1 telle que
T x n = y n et y n+1 = (T − U)x n ; y n+1 ≤ r
n ; x n+1 ≤ r
n
.
On a alors pour chaque entier n ≥ 1 la relation
y = y 1 = U x 1 + U x 2 + . . . + U x n + y n+1 .
Mais puisque x n+1 ≤ r
n , la série
n≥1 x n est convergente car absolument convergente
dans E complet, soit x =
n≥1 x n sa somme. On a clairement U x = y. Ceci montre que U
est surjective. Et par conséquent l’ensemble S (E, F) des surjections linéaires continues
forme un ouvert de L(E, F), résultat qu’on a vu dans l’Ex. IV.9 par une autre méthode.
(3) Cette question est posée à titre culturel, pour attirer l’attention du lecteur sur le
fait que les ouverts I(E, F) et S (E, F) peuvent être tous deux vides, même dans des cas
« plausibles ». Soit par exemple E =
q
, F =
p avec 1 ≤ p < q < ∞, des Banach
séparables de dimension infinie. D’après un théorème de Pitt, tout opérateur T : E → F
est compact, donc ne saurait être injectif d’image fermée : I(E, F) = ∅. Il n’est pas
non plus surjectif, car son image ne contient aucun sous-espace fermé G de dimension
infinie (cf. Ex. VII.17). Voici une preuve directe de cette assertion : soit G ⊂ ImT puis
E 0 = T
−1 (G) et T : E 0 → G, une surjection, donc. Par le théorème de l’application
ouverte (D 2.6 et P 2.14), applicable puisque E 0 et G sont des Banach, il existe une
constante C > 0 telle que B G ⊂ CT (B E 0 ), où B G et B E 0 désignent les boules unité
fermées des espaces considérés.
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