1. Énoncés
(2) Montrer que I(E, F) est un ouvert de L(E, F).
(3) Montrer les équivalences suivantes :
T ∈ S (E, F) ⇐⇒ T
∗
∈ I(F
∗
, E
∗ ).
(IV.1)
T ∈ I(E, F) ⇐⇒ T
∗
∈ S (F
∗
, E
∗ ).
(IV.2)
(4) Montrer que S (E, F) est aussi un ouvert de L(E, F).
Exercice IV.10
Soit E, F des espaces de Banach. On conserve les notations de l’Ex. IV.9. On note B X la
boule unité fermée de l’espace normé X.
(1) Soit T ∈ L(E, F). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Im (T ) est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace d’arrivée
(b) ∃C > 0 tel que ∀y ∈ B Im(T ) , ∃x ∈ E avec y = T x et x ≤ Cy
(c) ∃C > 0 tel que ∀y ∈ Im(T ), ∃x ∈ E avec y = T x et x ≤ Cy.
(2) Montrer (autre approche que celle de l’Ex. IV.9) que l’ensemble S (E, F) forme un
ouvert (éventuellement vide) de L(E, F).
(3) Donner des exemples de Banach séparables de dimension infinie E, F tels que
I(E, F) = ∅ ou(et) S (E, F) = ∅.
Exercice IV.11
(1) Soit E un espace normé et GL(E) = {T ∈ L(E); T
−1
∈ L(E)}.
Montrer que si E est complet alors GL(E) est ouvert dans L(E) et que l’application
T → T
−1 de GL(E) dans GL(E) est continue.
(2) Soit E = {x = (x n ) n∈N ∗ ; x n ∈ C, x n = 0 sauf pour un nombre fini de n} muni de la
norme p , p ≥ 1 et soit T : E → E (shift unilatéral) défini par
T (x 1 , x 2 , . . .) = (0, x 1 , x 2 , . . .).
(i) Montrer que T ∈ L(E).
(ii) Montrer que ∀ε > 0, I − εT n’est pas surjective.
(iii) En déduire que GL(E) n’est pas ouvert dans L(E).
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(2) Montrer que I(E, F) est un ouvert de L(E, F).
(3) Montrer les équivalences suivantes :
T ∈ S (E, F) ⇐⇒ T
∗
∈ I(F
∗
, E
∗ ).
(IV.1)
T ∈ I(E, F) ⇐⇒ T
∗
∈ S (F
∗
, E
∗ ).
(IV.2)
(4) Montrer que S (E, F) est aussi un ouvert de L(E, F).
Exercice IV.10
Soit E, F des espaces de Banach. On conserve les notations de l’Ex. IV.9. On note B X la
boule unité fermée de l’espace normé X.
(1) Soit T ∈ L(E, F). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Im (T ) est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace d’arrivée
(b) ∃C > 0 tel que ∀y ∈ B Im(T ) , ∃x ∈ E avec y = T x et x ≤ Cy
(c) ∃C > 0 tel que ∀y ∈ Im(T ), ∃x ∈ E avec y = T x et x ≤ Cy.
(2) Montrer (autre approche que celle de l’Ex. IV.9) que l’ensemble S (E, F) forme un
ouvert (éventuellement vide) de L(E, F).
(3) Donner des exemples de Banach séparables de dimension infinie E, F tels que
I(E, F) = ∅ ou(et) S (E, F) = ∅.
Exercice IV.11
(1) Soit E un espace normé et GL(E) = {T ∈ L(E); T
−1
∈ L(E)}.
Montrer que si E est complet alors GL(E) est ouvert dans L(E) et que l’application
T → T
−1 de GL(E) dans GL(E) est continue.
(2) Soit E = {x = (x n ) n∈N ∗ ; x n ∈ C, x n = 0 sauf pour un nombre fini de n} muni de la
norme p , p ≥ 1 et soit T : E → E (shift unilatéral) défini par
T (x 1 , x 2 , . . .) = (0, x 1 , x 2 , . . .).
(i) Montrer que T ∈ L(E).
(ii) Montrer que ∀ε > 0, I − εT n’est pas surjective.
(iii) En déduire que GL(E) n’est pas ouvert dans L(E).
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