Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
(ii) Montrer par un exemple que si T S S T , (i) peut être faux.
(2) Montrer que si P est un polynôme complexe, alors
σ(P(T )) = P(σ(T ))
de f
= {w = P(z); z ∈ σ(T )}.
Exercice IV.7
Soit E = C([0, 1] muni de la norme ∞ et pour f ∈ E, on définit
T f (x) =
x
0
K(x, t) f (t)dt
où K( , ) ∈ C([0, 1] × [0, 1]). Soit M = sup 0≤x,t≤1 |K(x, t)|.
(1) Montrer que T ∈ L(E).
(2) Montrer que pour tout n ≥ 1, on a |T
n f (x)| ≤
M
n
n! x
n
f ∞ .
En déduire que, pour tout n ≥ 1, T
n
≤
M
n
n! .
(3) Déterminer le spectre de T .
Exercice IV.8 : Opérateur de Volterra
Soit E = C([0, 1] muni de la norme ∞ et pour f ∈ E, on définit
T f (x) =
x
0
f (t)dt.
(1) (i) Montrer que, pour n ≥ 1, on a T
n f (x) =
x
0
K n (x, t) f (t)dt où K n (x, t) =
(x−t)
n−1
(n−1)! .
(ii) En déduire la valeur de la norme T
n
, n ≥ 1.
(2) Calculer la somme
n≥1 T
n .
(3) Résoudre l’équation (I − T ) f = g, où g ∈ E.
Exercice IV.9
Pour X, Y espaces de Banach, on note L(X, Y) l’ensemble des applications linéaires
continues de X dans Y, puis I(X, Y) le sous-ensemble de celles qui sont injectives
d’image fermée, et S (X, Y) le sous-ensemble de celles qui sont surjectives. E, F sont
deux espaces de Banach, E
∗
, F
∗ leurs duaux topologiques. Lorsque T ∈ L(E, F), on
note T
∗
∈ L(F
∗
, E
∗ ) son transposé.
(1) Soit T ∈ L(E, F). Établir l’équivalence
[T ∈ I(E, F)] ⇐⇒ [∃α > 0 tel que ∀x ∈ E, T x ≥ αx].
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