1. Énoncés
Exercice IV.4 : Propriétés du shift unilatéral
Soit H =
2 , et (e j ) la base hilbertienne canonique de H, i.e. e j est la suite dont tous les
éléments sont nuls sauf celui de rang j qui vaut 1. On note H 0 = Vect{e n ; n ∈ N
∗
}.
S 0 : H 0 → H 0 est l’application linéaire définie par ∀n ∈ N
∗
, S 0 e n = e n+1 , puis
prolongée à H 0 par linéarité.
(1) Montrer que S 0 peut être prolongée de manière unique sur H entier comme application linéaire continue S de H dans H. Montrer que S (le shift unilatéral) est isométrique. Quelle est sa norme ?
(2) Montrer qu’il existe un élément T de L(H) tel que T S = I, mais que S n’est pas
inversible dans L(H).
(3) Montrer que, pour μ ∈ C, l’équation en x, S x = μx n’admet que la solution x = 0.
(4) Soit λ ∈ C, p ∈ N
∗ . Résoudre l’équation S x − λx = e p .
(5) Soit λ ∈ C avec |λ| 1. Montrer que r = inf{{(S − λI)x; x = 1} est strictement
positif. En déduire que Im(S − λI) est un sous-espace fermé de H.
(6) Soit λ ∈ C avec |λ| = 1.
Étudier la suite ((S − λI) f n ) n∈N ∗ pour f n =
1
√
n
n
p=1 λ
−p e p .
En déduire que G = Im(S − λI) n’est pas fermé dans H.
(7) Montrer que le spectre σ(S ) de S est le disque unité fermé. On étendra ce résultat
à une isométrie non-surjective quelconque dans l’Ex. V.6.
Exercice IV.5
Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E,
||P|| =
∞
n=0
||P
(n)
|| ∞
avec ||P|| ∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P
(n) la dérivée d’ordre n de P. Alors ||P|| est une norme sur
E et l’application T : E → E définie par T (P) = P
, est linéaire continue (voir Ex. II.4).
Montrer que σ(T ) = {0} et σ sur (T ) = ∅, où σ sur (T ) = {λ ∈ C; Im(T − λI) E} est le
spectre surjectif de T . Ceci est en violent contraste avec le cas des espaces de Banach,
comme on le verra dans l’Ex. IV.12.
Exercice IV.6
Soit E un espace de Banach et T, S ∈ L(E).
(1) (i) Montrer que si T S = S T , alors T S est inversible si et seulement si T et S sont
inversibles.
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Exercice IV.4 : Propriétés du shift unilatéral
Soit H =
2 , et (e j ) la base hilbertienne canonique de H, i.e. e j est la suite dont tous les
éléments sont nuls sauf celui de rang j qui vaut 1. On note H 0 = Vect{e n ; n ∈ N
∗
}.
S 0 : H 0 → H 0 est l’application linéaire définie par ∀n ∈ N
∗
, S 0 e n = e n+1 , puis
prolongée à H 0 par linéarité.
(1) Montrer que S 0 peut être prolongée de manière unique sur H entier comme application linéaire continue S de H dans H. Montrer que S (le shift unilatéral) est isométrique. Quelle est sa norme ?
(2) Montrer qu’il existe un élément T de L(H) tel que T S = I, mais que S n’est pas
inversible dans L(H).
(3) Montrer que, pour μ ∈ C, l’équation en x, S x = μx n’admet que la solution x = 0.
(4) Soit λ ∈ C, p ∈ N
∗ . Résoudre l’équation S x − λx = e p .
(5) Soit λ ∈ C avec |λ| 1. Montrer que r = inf{{(S − λI)x; x = 1} est strictement
positif. En déduire que Im(S − λI) est un sous-espace fermé de H.
(6) Soit λ ∈ C avec |λ| = 1.
Étudier la suite ((S − λI) f n ) n∈N ∗ pour f n =
1
√
n
n
p=1 λ
−p e p .
En déduire que G = Im(S − λI) n’est pas fermé dans H.
(7) Montrer que le spectre σ(S ) de S est le disque unité fermé. On étendra ce résultat
à une isométrie non-surjective quelconque dans l’Ex. V.6.
Exercice IV.5
Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E,
||P|| =
∞
n=0
||P
(n)
|| ∞
avec ||P|| ∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P
(n) la dérivée d’ordre n de P. Alors ||P|| est une norme sur
E et l’application T : E → E définie par T (P) = P
, est linéaire continue (voir Ex. II.4).
Montrer que σ(T ) = {0} et σ sur (T ) = ∅, où σ sur (T ) = {λ ∈ C; Im(T − λI) E} est le
spectre surjectif de T . Ceci est en violent contraste avec le cas des espaces de Banach,
comme on le verra dans l’Ex. IV.12.
Exercice IV.6
Soit E un espace de Banach et T, S ∈ L(E).
(1) (i) Montrer que si T S = S T , alors T S est inversible si et seulement si T et S sont
inversibles.
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