IV
OPÉRATEURS
CONTINUS ENTRE
ESPACES NORMÉS
1 ÉNONCÉS
Exercice IV.1
Soient E et F deux espaces normés avec E {0}.
Montrer que [F complet] ⇔ [L(E, F) complet].
Exercice IV.2
Soit E =
2 (D 1.15), (λ n ) n≥1 une suite bornée dans C et M = sup n |λ n |. Soit T :
2
→
2
définie par : T x = y, avec y = (λ n x n ) n≥1 si x = (x n ) n≥1 ∈ E.
(1) Montrer que T est linéaire, continue, et calculer sa norme (cf. P 2.5).
(2) Montrer que si l’ensemble {|λ n |, n ≥ 1} est minoré par un nombre strictement
positif, alors T est bijective.
Préciser dans ce cas T
−1 et déterminer sa norme.
(3) On suppose que l’un des λ n est nul. Montrer que T n’est ni injective ni surjective
et que Im(T ) E.
(4) On suppose que ∀n ≥ 1, λ n 0 et inf(|λ n |, n ≥ 1) = 0. Montrer que T est injective
mais non surjective et que Im(T ) = E.
(5) Quel est le spectre de T ?
Exercice IV.3
Soit, pour 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace
p
=
p (N
∗ ) (cf. D 1.15) et T :
p
→
p le « backward »
shift défini par : T (x 1 , x 2 , x 3 , . . .) = (x 2 , x 3 , . . .).
(1) Montrer que T ∈ L(
p ) et calculer la norme de T .
(2) Déterminer σ(T ), et préciser les sous-espaces propres (D 10.4).
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