2. Solutions
(ii) Soit K = {z; |z| ≤ r}, compact de D puisque r < 1. La fonction F s’annule
sur la suite infinie (z k ) de points de K qui a (Bolzano-Weierstrass) un point
d’accumulation dans K. D’après l’analyticité de F, somme de série entière
convergente dans D (principe de l’unicité du prolongement analytique), F est
nulle sur D, donc tous les coefficients L(ϕ n ) de cette série entière sont nuls.
(iii) Soit V = Vect (ϕ n , n ∈ N). D’après le théorème d’approximation polynomiale
de Weierstrass, V est dense dans E. D’après la partie facile de l’Ex. III.8, L = 0
puisque L est nulle sur V. On a ainsi montré que
M
⊥
= {0}, ou encore : pour tout L ∈ E
∗
, L = 0 sur M =⇒ L = 0.
D’après la partie difficile de ce même exercice, on conclut que M = E, ce
qu’il fallait démontrer. Notons que les fonctions ( f z ) |z|≤r<1 forment un exemple
intéressant de système hypertotal de E, en ce sens que toute partie infinie de
ces fonctions est totale dans E, comme on vient de le voir.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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