Chapitre III • Théorème de Hahn-Banach, approches et applications
(4) (i) (a) Caractère de norme.
T f ∞ ≥ 0 donc f T ≥ 0.
T est linéaire, ∞ est une norme, et
f + f
T = T f + T f
∞ ≤ ≤ f T + f
T
et enfin, pour z ∈ C, z f T = |z| | f T .
Comme T est injective, f T = 0 ⇔ f = 0, et T est bien une norme.
(b) Caractère complet. Par définition, T est une isométrie linéaire de (E, T )
sur le Banach (E, ∞ ). Et comme on l’a déjà vu dans l’Ex. I.3, un espace normé linéairement isométrique à un espace de Banach est lui-même de Banach.
(ii) Normes non équivalentes.
Si les normes sont équivalentes, l’application identité de (E, ∞ ) dans (E, T ) est
continue, et il existe une constante h telle que l’on ait
Pour tout f ∈ E, f T = T f ∞ ≤ h f ∞ .
Cette inégalité entraînerait la continuité de T , qui n’a pas lieu. Les normes ne sont donc
pas équivalentes. On a même un exemple intéressant de deux normes à la fois banachiques et non-comparables sur E. Car si elles étaient comparables, elles seraient équivalentes contrairement à ce qui précède, par exemple d’après le théorème de l’application
ouverte. Un tel exemple paraît difficile à trouver sans l’emploi du lemme de Zorn (P 3.1).
Exercice III.11
(1) Pour z ∈ D et t ∈ [0, 1], on a :
f z (t) =
∞
n=0
z
n t
n
=
∞
n=0
z
n
ϕ n (t),
la série du membre de droite convergeant normalement (puisque nous avons
z
n
ϕ n ∞ = |z|
n ), donc uniformément, sur [0, 1]. On a donc, au sens de la norme de E,
l’égalité demandée f z =
∞
n=0 z
n
ϕ n .
(2) Soit z ∈ D fixé. La série
∞
n=0 z
n
ϕ n converge dans E et L est linéaire, continue sur
E, donc on peut intervertir les signes L et
∞
0 et on a
F(z) = L( f z ) = L
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=0
z
n
ϕ n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
n=0
z
n L(ϕ n ) =
∞
n=0
L(ϕ n )z
n
.
(3) On a successivement :
(i) Par hypothèse F(z k ) = L( f z k ) = 0.
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(4) (i) (a) Caractère de norme.
T f ∞ ≥ 0 donc f T ≥ 0.
T est linéaire, ∞ est une norme, et
f + f
T = T f + T f
∞ ≤ ≤ f T + f
T
et enfin, pour z ∈ C, z f T = |z| | f T .
Comme T est injective, f T = 0 ⇔ f = 0, et T est bien une norme.
(b) Caractère complet. Par définition, T est une isométrie linéaire de (E, T )
sur le Banach (E, ∞ ). Et comme on l’a déjà vu dans l’Ex. I.3, un espace normé linéairement isométrique à un espace de Banach est lui-même de Banach.
(ii) Normes non équivalentes.
Si les normes sont équivalentes, l’application identité de (E, ∞ ) dans (E, T ) est
continue, et il existe une constante h telle que l’on ait
Pour tout f ∈ E, f T = T f ∞ ≤ h f ∞ .
Cette inégalité entraînerait la continuité de T , qui n’a pas lieu. Les normes ne sont donc
pas équivalentes. On a même un exemple intéressant de deux normes à la fois banachiques et non-comparables sur E. Car si elles étaient comparables, elles seraient équivalentes contrairement à ce qui précède, par exemple d’après le théorème de l’application
ouverte. Un tel exemple paraît difficile à trouver sans l’emploi du lemme de Zorn (P 3.1).
Exercice III.11
(1) Pour z ∈ D et t ∈ [0, 1], on a :
f z (t) =
∞
n=0
z
n t
n
=
∞
n=0
z
n
ϕ n (t),
la série du membre de droite convergeant normalement (puisque nous avons
z
n
ϕ n ∞ = |z|
n ), donc uniformément, sur [0, 1]. On a donc, au sens de la norme de E,
l’égalité demandée f z =
∞
n=0 z
n
ϕ n .
(2) Soit z ∈ D fixé. La série
∞
n=0 z
n
ϕ n converge dans E et L est linéaire, continue sur
E, donc on peut intervertir les signes L et
∞
0 et on a
F(z) = L( f z ) = L
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=0
z
n
ϕ n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
∞
n=0
z
n L(ϕ n ) =
∞
n=0
L(ϕ n )z
n
.
(3) On a successivement :
(i) Par hypothèse F(z k ) = L( f z k ) = 0.
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