Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
Exercice IV.12
Soit E un espace de Banach et T ∈ L(E, E) = L(E). On rappelle que, avec les notations
des exercices 9 et 10, en posant S (X) = S (X, X) ainsi que I(X) = I(X, X), on a les
équivalences
T ∈ S (E) ⇐⇒ T
∗
∈ I(E
∗ )
T ∈ I(E) ⇐⇒ T
∗
∈ S (E
∗ ).
(1) En déduire que σ ap (T ) = σ sur (T
∗ ),
où σ ap (T ) = {λ; T − λI n’est pas injectif à image fermée} est le « spectre approximatif » de T .
(2) Le but de la question est de montrer que ∂σ(T ) ⊆ σ ap (T ) et aussi que σ sur (T ) ∅.
(a) Soit λ ∈ ∂σ(T ) et λ n σ(T ) tel que λ n → λ. Montrer que
(T − λ n I)
−1
→ ∞ quand n → ∞.
(b) Montrer que λ ∈ σ ap (T ).
(c) En déduire que ∂σ(T ) ⊆ σ ap (T ).
(d) Montrer qu’on a σ sur (T ) ∅, comme annoncé.
Exercice IV.13
Soit E un espace de Banach et T ∈ L(E). On dira que T vérifie l’équation de Daugavet
si I + T = 1 + T (cf. aussi Ex. VIII.10).
Montrer que si T ∈ σ(T ) (cf. D 10.13), alors T vérifie l’équation de Daugavet.
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