3,4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
89
On étudie la limite de f en (0, 0).
Que doit-on montrer? Lorsque (x, y) se rapproche de (0, 0) en suivant un des deux
axes de coordonnées, puisque x = 0 ou y= 0, on a f(x, y)= 0--+ O. Lorsque (x, y)
reste sur la première bissectrice du repère, on a x =y, donc f(x, y)= - 1 x 2 --+O.
+x
Il ne semble donc pas absurde d'essayer de démontrer que la fonction tend vers O.
•
2
4
2 .
1
1
En fait, pour xi- 0, on a x +y ~ x > 0, donc 2 4 :::::; 2·
X +y
X
On en déduit que pour x i- 0, on a
x 2 IYI
x 2 IYI
lf(x, Y)I = x2 + y4 : : : : : ; 7 = IYI·
Comme pour x = 0, on a f(x, y) = 0, et donc lf(x, y)I = 0:::::; IYI, alors on peut
affirmer que, pour tout (x,y) E JR 2 \ {(0,0)},
lf(x, Y)I :::::; IYI·
Puisqu'il est clair que
lim
IYI = 0, on peut conclure grâce au théorème 3.33
(x,y)-+(0,0)
(p. 86) que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)-+(0,0)
• Soit maintenant la fonction f définie sur IR 2 \ { (0, O)} par
xy2
f (X' y) = x2 + y4
On étudie encore la limite de f en (0, 0).
Cette situation ressemble beaucoup à la situation précédente, et l'étude de la
limite en suivant les mêmes chemins donne le même résultat : apparemment, la
limite est nulle.
Seulement la même tentative de majoration n'aboutit pas, car on obtient dans ce
cas:
lxly2
y2
lf(x,y)I:::::; 7 = i;T'
et cette dernière fonction semble ne pas avoir de limite en (0, 0) : on ne peut donc
rien conclure pour f.
En fait, la solution vient d'une remarque pertinente : six= y 2 , alors f(x, y) = !·
Donc si (x, y) se rapproche de (0, 0) en suivant la parabole d'équation x = y 2 ,
.
d , 1
,
.
, .
{x(t) = t2
t
0
ce qm correspon a a representation parametnque y(t) = t avec --+ , on
obtient:
t 2 t 2
t 4
1
1
f (x(t), y(t)) = (t2)2 + t4 = 2t4 = 2 Hot 2·
Mais puisque lorsque (x, y) --+ (0, 0) en suivant l'axe des abscisses (y= 0), on a
f(x, 0) = 0--+ 0, cela prouve que la fonction f n'a pas de limite en (0, 0).
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On étudie la limite de f en (0, 0).
Que doit-on montrer? Lorsque (x, y) se rapproche de (0, 0) en suivant un des deux
axes de coordonnées, puisque x = 0 ou y= 0, on a f(x, y)= 0--+ O. Lorsque (x, y)
reste sur la première bissectrice du repère, on a x =y, donc f(x, y)= - 1 x 2 --+O.
+x
Il ne semble donc pas absurde d'essayer de démontrer que la fonction tend vers O.
•
2
4
2 .
1
1
En fait, pour xi- 0, on a x +y ~ x > 0, donc 2 4 :::::; 2·
X +y
X
On en déduit que pour x i- 0, on a
x 2 IYI
x 2 IYI
lf(x, Y)I = x2 + y4 : : : : : ; 7 = IYI·
Comme pour x = 0, on a f(x, y) = 0, et donc lf(x, y)I = 0:::::; IYI, alors on peut
affirmer que, pour tout (x,y) E JR 2 \ {(0,0)},
lf(x, Y)I :::::; IYI·
Puisqu'il est clair que
lim
IYI = 0, on peut conclure grâce au théorème 3.33
(x,y)-+(0,0)
(p. 86) que
lim
f(x, y)= O.
(x,y)-+(0,0)
• Soit maintenant la fonction f définie sur IR 2 \ { (0, O)} par
xy2
f (X' y) = x2 + y4
On étudie encore la limite de f en (0, 0).
Cette situation ressemble beaucoup à la situation précédente, et l'étude de la
limite en suivant les mêmes chemins donne le même résultat : apparemment, la
limite est nulle.
Seulement la même tentative de majoration n'aboutit pas, car on obtient dans ce
cas:
lxly2
y2
lf(x,y)I:::::; 7 = i;T'
et cette dernière fonction semble ne pas avoir de limite en (0, 0) : on ne peut donc
rien conclure pour f.
En fait, la solution vient d'une remarque pertinente : six= y 2 , alors f(x, y) = !·
Donc si (x, y) se rapproche de (0, 0) en suivant la parabole d'équation x = y 2 ,
.
d , 1
,
.
, .
{x(t) = t2
t
0
ce qm correspon a a representation parametnque y(t) = t avec --+ , on
obtient:
t 2 t 2
t 4
1
1
f (x(t), y(t)) = (t2)2 + t4 = 2t4 = 2 Hot 2·
Mais puisque lorsque (x, y) --+ (0, 0) en suivant l'axe des abscisses (y= 0), on a
f(x, 0) = 0--+ 0, cela prouve que la fonction f n'a pas de limite en (0, 0).