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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
Cette quantité ne peut s'annuler que si x = y = O.
Utilisons maintenant les coordonnées polaires :
lx 3 I
lr 3 cos 3 BI
1 f ( x' Y) 1 = x2 - xy + y2 = r2 cos2 0 - r cos 0 r sin 0 + r 2 sin 2 0
r 3
r
~
-
.
""r 2 (1- sinOcosO) - 1- sinOcosO
On a utilisé les « évidences » 1 cos BI ~ 1 et cos 2 0 + sin 2 0 = 1.
Or, on a sinOcosO = ~sin20 ~ ~ donc 1-sinOcosO ~ 1- ~ = ~ > 0, donc
1
-----~2
1- sinOcosO
et
r
-----~2r,
1- sinOcosO
d'où finalement
lf(x, y)I ~ 2r.
et on peut conclure grâce au corollaire 3.34 p. 87, puisqu'on a évidemment
lim 2r =O.
r-tO
Degré total
Un petit « truc » bien utile, mais qui est juste une indication, lorsqu'on doit
étudier la limite en 0 d'une fonction de plusieurs variables dont l'expression se
présente comme une fraction, c'est de considérer le degré total de cette fraction.
Ce truc ne marche que si le numérateur et le dénominateur sont homogènes, c'està-dire, comme dans les quatre exemples que nous venons d'étudier, des polynômes
sommes de monômes ayant tous le même degré. Le degré total d'une fraction est
alors la différence entre le degré du numérateur et le degré du dénominateur. Si le
degré total de la fraction est > 0, on devrait pouvoir arriver à démontrer que la
limite de cette fraction est O. Si le degré total de cette fraction est ~ 0, on doit
pouvoir démontrer qu'il n'y a pas de limite. Les deux derniers exemples que nous
venons de voir avaient un degré total de 3 - 2 = 1, ça confirme la limite nulle que
nous avons démontrée Les deux premiers exemples étudiés dans ce § avaient un
degré total égal à 2 - 2 = 0 et n'avaient effectivement pas de limite.
Attention ! Ce « truc » n'est pas une démonstration : il donne juste une indication
sur ce qu'il faut démontrer (limite nulle ou pas de limite).
Et si la fraction n'est pas homogène? Dans ce cas, il faut « bricoler»! Voyons
deux exemples de cette situation.
• Soit f la fonction définie sur IR 2 \ { (0, 0)} par
x2y
f (X' y) = x2 + y4