3,4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
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Corollaire 3.34 Si f est une fonction de deux variables x et y définie au voisinage
de (0, 0), s'il existe une fonction d'une variable g, telle que pour tous (x, y) f:. (0, 0),
dans un voisinage de {0,0), posant r = ll(x,y)ll2 on ait lf(x,y)I ~ g(r),
si de plus on a lim g(r) = 0, alors on a
r--+0
lim J(x, y)= O.
(x,y)--+(0,0)
Preuve Il suffit de se rendre compte que si on pose h(x, y) = g( Jx2 + y2) = g(r),
on a par compositions de limites,
lim h(x,y) = 0 et qu'on a lf(x,y)I ~
(x,y)--+(0,0)
lh(x, y)I. On peut donc sans problème appliquer le théorème 3.33.
D
Quelques exemples
• Soit f définie sur ~ 3 \ { {O, 0, O)} par
xyz
f ( x' y' z) = x2 + y2 + z2
Montrons que f(x, y, z) tend vers 0 pour (x, y, z) -+ {O, 0, 0).
Il est clair que !xi= JX2 ~ Jx2 + y 2 + z2 donc J 2 lxl 2 2 ~ 1.
X +y +y
D
~
IYI
,/ 1
e meme, on a _ / 2
2
2 ~ .
yX +y +y
On en déduit que:
Or, on a
lim
z = 0 {la fonction (x, y, z) i---------+ z est la troisième projection
(x,y,z)--+(0,0,0)
p3 de la proposition 3.23 p. 77). Le théorème 3.33 (p. 86) s'applique donc et on
peut conclure que
lim
f(x, y, z) =O.
(x,y,z)--+(0,0,0)
• Soit f définie sur ~ 2 \ { {O, O)} par
x3
f ( x y ) - - - -
' - x2 -xy +y2
On veut montrer que cette fonction tend vers 0 pour (x, y) -+ {O, 0).
Vérifions tout d'abord qu'on a bien 'D(f) = ~ 2 \ {{O, 0)}.
Cherchons pour quelles valeurs le dénominateur de la fraction définissant f
s'annule. On a
2
2 x2+(x2-2xy+y2)+y2
x2
(x-y)2 y2
X - xy +y =
= - +
+ - ~ 0.
2
2
2
2