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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JR.P VERS ]Rn
La meilleure méthode consiste à essayer de majorer, pour X f:. 0, en valeur absolue,
f(X) par une fonction de référence g(X) qui tend vers 0 lorsque X-+ O. Cette
fonction de référence est la plupart du temps la valeur absolue d'une fonction
régulière, continue en 0 : cette valeur absolue est également continue en 0 comme
composée de fonctions continues. On peut alors conclure grâce au théorème suivant,
qui est à rapprocher du «théorème des gendarmes » pour les fonctions d'une
variable.
Théorème 3.33 Soit f et g deux fonctions de JîP vers lî, définies au voisinage
de 0 (mais f(O) n'existe pas forcément).
On suppose que lim g(X) = 0 et que pour tout X f:. 0, dans un voisinage de 0,
X--+0
on a
lf(X)I ~ g(X).
Alors on peut affirmer que
lim f(X) =O.
X--+0
Attention! Dans ce théorème (comme d'ailleurs dans le corollaire suivant 3.34),
il est essentiel que la majoration de f se fasse en valeur absolue! Si on a une
relation du type f(X) ~ g(X), même si on connaît la limite de g, on ne peut rien
dire pour celle de f.
Preuve
Soit c >O.
Puisque lim g(X) = 0, il existe 1J > 0 (qu'on peut choisir suffisamment petit pour
X--+0
que la boule de centre 0, de rayon 1J soit incluse dans tous les voisinages des
hypothèses) tel que pour tout X f:. 0 tel que llXll = llX - Oii ~ 17, on a f(X) et
g(X) qui existent (puisque ces fonctions sont supposées définies au voisinage de
0) et surtout lg(X)I = lg(X) - OI ~ c.
Mais 1J étant suffisamment petit, on a lf(X)I ~ g(X), et l'hypothèse impose
que dans ce voisinage de 0 on ait g(X) ~ 0 donc g(X) = lg(X)I. On a donc
lf(X)I ~ lg(X)I ~ c, c'est-à-dire lf(X) - OI ~ c.
D
Nous verrons que pour les fonctions de deux variables, il est souvent pratique
d'utiliser les coordonnées polaires, c'est à dire que si X= (x,y) E Jî 2 , on pose
{
x = rcos(}
.
. (} avec r = vx 2 + y 2 = ll(x, y)ll2 et(} est l'angle que fait le vecteur de
y= rsm ,
coordonnées ( x, y) avec le premier vecteur de la base (orthonormée, directe) ( (}
est aussi l'argument du nombre complexe x + i y).
On peut alors souvent utiliser la propriété suivante qui est un corollaire immédiat
du théorème 3.33 :
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JR.P VERS ]Rn
La meilleure méthode consiste à essayer de majorer, pour X f:. 0, en valeur absolue,
f(X) par une fonction de référence g(X) qui tend vers 0 lorsque X-+ O. Cette
fonction de référence est la plupart du temps la valeur absolue d'une fonction
régulière, continue en 0 : cette valeur absolue est également continue en 0 comme
composée de fonctions continues. On peut alors conclure grâce au théorème suivant,
qui est à rapprocher du «théorème des gendarmes » pour les fonctions d'une
variable.
Théorème 3.33 Soit f et g deux fonctions de JîP vers lî, définies au voisinage
de 0 (mais f(O) n'existe pas forcément).
On suppose que lim g(X) = 0 et que pour tout X f:. 0, dans un voisinage de 0,
X--+0
on a
lf(X)I ~ g(X).
Alors on peut affirmer que
lim f(X) =O.
X--+0
Attention! Dans ce théorème (comme d'ailleurs dans le corollaire suivant 3.34),
il est essentiel que la majoration de f se fasse en valeur absolue! Si on a une
relation du type f(X) ~ g(X), même si on connaît la limite de g, on ne peut rien
dire pour celle de f.
Preuve
Soit c >O.
Puisque lim g(X) = 0, il existe 1J > 0 (qu'on peut choisir suffisamment petit pour
X--+0
que la boule de centre 0, de rayon 1J soit incluse dans tous les voisinages des
hypothèses) tel que pour tout X f:. 0 tel que llXll = llX - Oii ~ 17, on a f(X) et
g(X) qui existent (puisque ces fonctions sont supposées définies au voisinage de
0) et surtout lg(X)I = lg(X) - OI ~ c.
Mais 1J étant suffisamment petit, on a lf(X)I ~ g(X), et l'hypothèse impose
que dans ce voisinage de 0 on ait g(X) ~ 0 donc g(X) = lg(X)I. On a donc
lf(X)I ~ lg(X)I ~ c, c'est-à-dire lf(X) - OI ~ c.
D
Nous verrons que pour les fonctions de deux variables, il est souvent pratique
d'utiliser les coordonnées polaires, c'est à dire que si X= (x,y) E Jî 2 , on pose
{
x = rcos(}
.
. (} avec r = vx 2 + y 2 = ll(x, y)ll2 et(} est l'angle que fait le vecteur de
y= rsm ,
coordonnées ( x, y) avec le premier vecteur de la base (orthonormée, directe) ( (}
est aussi l'argument du nombre complexe x + i y).
On peut alors souvent utiliser la propriété suivante qui est un corollaire immédiat
du théorème 3.33 :