3.4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
85
Il suffit de faire tendre t vers 0 pour que le point (x, y) tende vers (0, 0) en suivant
ce chemin. On a alors
t2 - t2
f(x(t), y(t)) = 2 2 = 0----+ O.
t +t
HO
Donc si f admet une limite en (0, 0), cette limite est nulle.
Maintenant, on fait tendre (x, y) vers (0, 0) en restant sur l'axe des abscisses.
Cela correspond à la paramétrisation { :&? : ~ avec t---+ O. On a alors :
'
t2 - 02
f (x(t), y(t)) = t2 + 02 = 1 Hot 1.
On peut donc affirmer que f n'admet pas de limite en (0, 0).
Ce n'est pas utile, mais il est intéressant de se rendre compte que si (x, y) tend
vers (0, 0) en restant sur l'axe des ordonnées, alors on trouve une troisième valeur
f(x, y)= -1.
3.4.6 Comment montrer que f admet une limite?
Jusqu'alors, nous n'avons montré que des «non-limites». C'est bien, mais ce n'est
pas le plus intéressant.
Pour montrer qu'une fonction f admet une limite f, en Xo, il est en général lourd
de revenir à la définition parc, 17. On essaiera en général de procéder comme suit.
Tout d'abord, il est essentiel de « deviner » quelle est la valeur de R. Si cette valeur
n'est pas donnée par l'énoncé, on dispose des deux méthodes que l'on vient de
voir pour essayer de la déterminer : utiliser une suite vectorielle qui converge vers
Xo ou un chemin menant à Xo.
Ensuite, on a intérêt à se ramener à Xo = 0 et à f, = 0, ce qui ne pose pas de
problème:
Pour f, il suffit de considérer g(X) = J(X) - f, et de chercher à montrer que
lim g(X) =O.
X--tXo
Pour Xo, on fait le changement de variable X = Xo + H et X ---+ Xo équivaut
évidemment à H ---+ O. Si on veut être plus rigoureux que ce «évidemment»,
il suffit de comprendre que, dans la caractérisation de la limite, llX - Xoll ~ 1J
équivaut, puisque H = X - Xo, à llHll ~ 1J ou encore llH - Oil ~ 17, de sorte que
si on trouve un 1J > 0 correspondant à un c, il conviendra aussi bien pour établir
une lim qu'une lim.
X--tXo
H--tO
Nous supposons, dans la suite quitte à changer les notations, qu'il s'agit de montrer
que lim f (X) = O.
X--tO
85
Il suffit de faire tendre t vers 0 pour que le point (x, y) tende vers (0, 0) en suivant
ce chemin. On a alors
t2 - t2
f(x(t), y(t)) = 2 2 = 0----+ O.
t +t
HO
Donc si f admet une limite en (0, 0), cette limite est nulle.
Maintenant, on fait tendre (x, y) vers (0, 0) en restant sur l'axe des abscisses.
Cela correspond à la paramétrisation { :&? : ~ avec t---+ O. On a alors :
'
t2 - 02
f (x(t), y(t)) = t2 + 02 = 1 Hot 1.
On peut donc affirmer que f n'admet pas de limite en (0, 0).
Ce n'est pas utile, mais il est intéressant de se rendre compte que si (x, y) tend
vers (0, 0) en restant sur l'axe des ordonnées, alors on trouve une troisième valeur
f(x, y)= -1.
3.4.6 Comment montrer que f admet une limite?
Jusqu'alors, nous n'avons montré que des «non-limites». C'est bien, mais ce n'est
pas le plus intéressant.
Pour montrer qu'une fonction f admet une limite f, en Xo, il est en général lourd
de revenir à la définition parc, 17. On essaiera en général de procéder comme suit.
Tout d'abord, il est essentiel de « deviner » quelle est la valeur de R. Si cette valeur
n'est pas donnée par l'énoncé, on dispose des deux méthodes que l'on vient de
voir pour essayer de la déterminer : utiliser une suite vectorielle qui converge vers
Xo ou un chemin menant à Xo.
Ensuite, on a intérêt à se ramener à Xo = 0 et à f, = 0, ce qui ne pose pas de
problème:
Pour f, il suffit de considérer g(X) = J(X) - f, et de chercher à montrer que
lim g(X) =O.
X--tXo
Pour Xo, on fait le changement de variable X = Xo + H et X ---+ Xo équivaut
évidemment à H ---+ O. Si on veut être plus rigoureux que ce «évidemment»,
il suffit de comprendre que, dans la caractérisation de la limite, llX - Xoll ~ 1J
équivaut, puisque H = X - Xo, à llHll ~ 1J ou encore llH - Oil ~ 17, de sorte que
si on trouve un 1J > 0 correspondant à un c, il conviendra aussi bien pour établir
une lim qu'une lim.
X--tXo
H--tO
Nous supposons, dans la suite quitte à changer les notations, qu'il s'agit de montrer
que lim f (X) = O.
X--tO