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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
Dans cet énoncé, a désigne un endroit de IR où on peut calculer une limite : ce
peut être un réel to, ou ±oo, ou encore un réel à gauche ou à droite comme tri ou
t().
Une interprétation géométrique ou cinématique importante de cet énoncé est le
suivant :
Si M(t) est un point mobile qui tend vers le point Mo de coordonnées Xo (n'oublions pas que Xo est un p-uple, qui peut être considéré comme les coordonnées
d'un point), alors l'image par f de ce point mobile tend aussi vers f. En d'autres
termes, quel que soit le chemin (au sens courbe paramétrée) qu'utilise X pour se
rapprocher de Xo, on doit avoir f (X) -+ f.
Attention! ceci n'est pas une propriété caractéristique de la limite, car aussi
difficile à se le représenter que cela puisse paraître, il est possible que X tende
vers Xo sans emprunter un chemin!
En particulier, il est tout à fait insuffisant que f(X) tende vers f uniquement
lorsque X se rapproche de Xo en suivant des droites.
Application
Pour montrer qu'une fonction f n'admet pas f comme limite lorsque X-+ X 0 ,
il suffit de trouver une façon de se rapprocher de Xo en suivant un chemin
(inclus dans V(f)), c'est-à-dire de trouver une fonction vectorielle X(t) telle que
lim X(t) = Xo, avec lim f(X(t)) qui n'existe pas, ou qui est infinie, ou qui est
t--+a
t--+a
différente de f.
De même, pour montrer qu'une fonction f n'admet pas de limite lorsque X-+ X 0 ,
il suffit de trouver deux façons X(t) et Y(t) de se rapprocher de Xo en suivant
des chemins inclus dans V(f) tels que lim X(t) = Xo et lim Y(t) = X 0 mais avec
t--+a
t--+a
lim f(X(t)) =/:- lim f(Y(t)), ou encore de trouver un seul chemin avec la limite de
t--+a
t--+a
f(X) le long de ce chemin qui est infinie ou qui n'existe pas.
Autre exemple
Soit f définie sur IR. 2 \ { (0, O)} par
On cherche si f admet une limite lorsque (x, y) -+ (0, 0).
Pour cela on va chercher la limite de f(x, y) lorsque (x, y) se rapproche de (0, 0)
en suivant différents chemins.
Tout d'abord, si (x,y) reste sur la« première diagonale du repère», la droite
y= x. Une paramétrisation de ce chemin est { ;g;.::: :.
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
Dans cet énoncé, a désigne un endroit de IR où on peut calculer une limite : ce
peut être un réel to, ou ±oo, ou encore un réel à gauche ou à droite comme tri ou
t().
Une interprétation géométrique ou cinématique importante de cet énoncé est le
suivant :
Si M(t) est un point mobile qui tend vers le point Mo de coordonnées Xo (n'oublions pas que Xo est un p-uple, qui peut être considéré comme les coordonnées
d'un point), alors l'image par f de ce point mobile tend aussi vers f. En d'autres
termes, quel que soit le chemin (au sens courbe paramétrée) qu'utilise X pour se
rapprocher de Xo, on doit avoir f (X) -+ f.
Attention! ceci n'est pas une propriété caractéristique de la limite, car aussi
difficile à se le représenter que cela puisse paraître, il est possible que X tende
vers Xo sans emprunter un chemin!
En particulier, il est tout à fait insuffisant que f(X) tende vers f uniquement
lorsque X se rapproche de Xo en suivant des droites.
Application
Pour montrer qu'une fonction f n'admet pas f comme limite lorsque X-+ X 0 ,
il suffit de trouver une façon de se rapprocher de Xo en suivant un chemin
(inclus dans V(f)), c'est-à-dire de trouver une fonction vectorielle X(t) telle que
lim X(t) = Xo, avec lim f(X(t)) qui n'existe pas, ou qui est infinie, ou qui est
t--+a
t--+a
différente de f.
De même, pour montrer qu'une fonction f n'admet pas de limite lorsque X-+ X 0 ,
il suffit de trouver deux façons X(t) et Y(t) de se rapprocher de Xo en suivant
des chemins inclus dans V(f) tels que lim X(t) = Xo et lim Y(t) = X 0 mais avec
t--+a
t--+a
lim f(X(t)) =/:- lim f(Y(t)), ou encore de trouver un seul chemin avec la limite de
t--+a
t--+a
f(X) le long de ce chemin qui est infinie ou qui n'existe pas.
Autre exemple
Soit f définie sur IR. 2 \ { (0, O)} par
On cherche si f admet une limite lorsque (x, y) -+ (0, 0).
Pour cela on va chercher la limite de f(x, y) lorsque (x, y) se rapproche de (0, 0)
en suivant différents chemins.
Tout d'abord, si (x,y) reste sur la« première diagonale du repère», la droite
y= x. Une paramétrisation de ce chemin est { ;g;.::: :.