3,4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
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à la valeur de cette limite facile à calculer.
• Si on trouve une suite de vecteurs (Xn) de 'D(f), convergente vers Xo, telle que
lim f (Xn) = ±oo, alors on est sûr que lim f (X) n'existe pas.
n--++oo
X--+Xo
Étude d'un exemple
Soit fla fonction de JR 2 vers lR définie par f(x, y) = 2 xy 2 .
X +y
Il est clair que cette fonction est définie et continue sur JR 2 \ { (0, 0)}.
Est-ce que f admet une limite pour (x, y) -+ (0, 0)?
Considérons la suite (Xn) définie par xn = (un,Vn) = (0, 2 ;). Elle converge
évidemment vers (0, 0) et est formée de vecteurs de 'D(f). Calculons, pour tout
n EN, J(Xn) et étudions si cette quantité possède une limite pour n-+ +oo.
f ( n) J( 1 )
0 ' 2;
X = 0, 2 n =
2 = O ------+ O.
02 + ( 2 ; )
n--++oo
On peut donc affirmer que si lim f(X) existe, alors cette limite est nulle, mais
X-+Xo
il ne faut surtout pas conclure que cette limite existe.
Considérons maintenant la suite (Yn) définie par yn = (vn,Vn) = ( 2 ; , 2 ;).
Évidemment, elle converge aussi vers (0, 0) et est formée de vecteurs de 'D(f).
Mais on a cette fois
Puisque J(Yn) n'a pas la même limite que J(Xn), on peut affirmer que lim J(X)
X-+Xo
n'existe pas, que f n'admet pas de limite pour (x, y) -+ (0, 0).
Autre méthode
Il est un peu lourd d'introduire toujours des suites pour réfuter une limite, et on
aime bien utiliser les fonctions vectorielles, faciles à se représenter si on utilise
l'interprétation courbe paramétrée.
La propriété suivante est un corollaire immédiat du théorème 3. 7 (p. 68) utilisé
avec p = m = 1.
Proposition 3.32 Si f est une fonction réelle de plusieurs variables (de JRP vers
IR), si lim f (X) = f, alors pour toute fonction vectorielle X de la variable réelle
X-+Xo
t à valeurs dans 'D(f), (X est une fonction de lR vers JRP), telle que lim X(t) = Xo,
t-+a
on a
lim f(X(t)) = f.
t-+a