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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE RP VERS Rn
seulement si, pour toute suite (Xn)nEN d'éléments de 'D(f), convergente vers Xo,
on a lim f(Xn) = R.
n--++oo
Preuve Supposons lim f (X) = R.
X--+Xo
Soit (Xn)nEN une suite d'éléments de V(f), convergente vers Xo. Pour tout é > 0,
puisque lim f(X) = R, il existe 'T/ > 0, tel que si llX - Xoll :::;; 'f/, avec X E 'D(f),
X...-+Xo
alors on a If (X) - RI :::;; é.
Mais pour cet 'T/ > 0, puisque (Xn)nEN converge vers Xo, il existe no EN tel que
pour n;::: no, on a llXn-Xoll :::;; 'f/, avec par construction, xn E 'D(f). On peut donc
conclure que lf(Xn) - RI :::;; é et ce qui est souligné montre que lim f(Xn) = R.
n--++oo
Réciproquement : on va raisonner par la contraposée. Supposons que l'on n'a
pas lim f(X) = R (soit cette limite est différente, soit elle n'existe pas). Nous
X...-+Xo
allons montrer qu'on peut alors construire une suite (Xn)nEN d'éléments de V(f)
qui converge vers X 0 , mais qui est telle que la suite de réels (f(xn))
ne
nEN
converge pas vers R.
Puisque lim f(X) =Rest faux, il existe éo > 0 tel que pour tout 'T/ > 0, il existe
X--+Xo
un X E V qui vérifie llX - Xoll :::;; 'f/, mais pas lf(X) - RI :::;; éo, donc qui est tel
que If (X) - RI > éo.
1
En particulier, si on prend 'T/ = 2 n, pour tout n EN, il existe xn E 'D(f) qui est
tel que llXn - Xoll :::;; 2 ~, mais qui est tel que lf(Xn) - RI > éo.
On construit ainsi une suite (Xn)nEN d'éléments de V(f), qui converge vers Xo
1
puisque llXn -Xoll :::;; 2
n --+ 0 (voir la proposition 1.31 p. 21), mais on est sûr que
( f(Xn))
ne converge pas vers R puisque lf(Xn)-RI > éo > 0, donc lf(Xn)-RI
nEN
ne tend pas vers O.
D
Ce théorème permet de montrer qu'une fonction f n'admet pas la limite R lorsque
X--+ Xo, ou de montrer que cette fonction n'admet pas du tout de limite pour
X--+ Xo; il permet aussi de trouver la seule valeur possible de la limite éventuelle
R de f (X) pour X --+ Xo.
• Si on arrive à construire une suite de vecteurs (Xn) de V(f), convergente vers
X0 , et telle que lim f(Xn) =/:- R, on est sûr de ne pas avoir lim f(X) = R
n--++oo
X...-+Xo
• Si on arrive à trouver deux suites de vecteurs (Xn) et (X'n) de V(f), toutes
deux convergentes vers Xo et telles que lim f(Xn) =/:- lim f(X'n), alors on
n--++oo
n--++oo
est sûr que lim f (X) n'existe pas.
X...-+Xo
• Si on trouve une suite de vecteurs (Xn) de 'D(f), convergente vers X 0 , telle que
lim f(Xn) est facile à calculer, alors si lim f(X) existe, sa valeur est égale
n--++oo
X--+Xo
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE RP VERS Rn
seulement si, pour toute suite (Xn)nEN d'éléments de 'D(f), convergente vers Xo,
on a lim f(Xn) = R.
n--++oo
Preuve Supposons lim f (X) = R.
X--+Xo
Soit (Xn)nEN une suite d'éléments de V(f), convergente vers Xo. Pour tout é > 0,
puisque lim f(X) = R, il existe 'T/ > 0, tel que si llX - Xoll :::;; 'f/, avec X E 'D(f),
X...-+Xo
alors on a If (X) - RI :::;; é.
Mais pour cet 'T/ > 0, puisque (Xn)nEN converge vers Xo, il existe no EN tel que
pour n;::: no, on a llXn-Xoll :::;; 'f/, avec par construction, xn E 'D(f). On peut donc
conclure que lf(Xn) - RI :::;; é et ce qui est souligné montre que lim f(Xn) = R.
n--++oo
Réciproquement : on va raisonner par la contraposée. Supposons que l'on n'a
pas lim f(X) = R (soit cette limite est différente, soit elle n'existe pas). Nous
X...-+Xo
allons montrer qu'on peut alors construire une suite (Xn)nEN d'éléments de V(f)
qui converge vers X 0 , mais qui est telle que la suite de réels (f(xn))
ne
nEN
converge pas vers R.
Puisque lim f(X) =Rest faux, il existe éo > 0 tel que pour tout 'T/ > 0, il existe
X--+Xo
un X E V qui vérifie llX - Xoll :::;; 'f/, mais pas lf(X) - RI :::;; éo, donc qui est tel
que If (X) - RI > éo.
1
En particulier, si on prend 'T/ = 2 n, pour tout n EN, il existe xn E 'D(f) qui est
tel que llXn - Xoll :::;; 2 ~, mais qui est tel que lf(Xn) - RI > éo.
On construit ainsi une suite (Xn)nEN d'éléments de V(f), qui converge vers Xo
1
puisque llXn -Xoll :::;; 2
n --+ 0 (voir la proposition 1.31 p. 21), mais on est sûr que
( f(Xn))
ne converge pas vers R puisque lf(Xn)-RI > éo > 0, donc lf(Xn)-RI
nEN
ne tend pas vers O.
D
Ce théorème permet de montrer qu'une fonction f n'admet pas la limite R lorsque
X--+ Xo, ou de montrer que cette fonction n'admet pas du tout de limite pour
X--+ Xo; il permet aussi de trouver la seule valeur possible de la limite éventuelle
R de f (X) pour X --+ Xo.
• Si on arrive à construire une suite de vecteurs (Xn) de V(f), convergente vers
X0 , et telle que lim f(Xn) =/:- R, on est sûr de ne pas avoir lim f(X) = R
n--++oo
X...-+Xo
• Si on arrive à trouver deux suites de vecteurs (Xn) et (X'n) de V(f), toutes
deux convergentes vers Xo et telles que lim f(Xn) =/:- lim f(X'n), alors on
n--++oo
n--++oo
est sûr que lim f (X) n'existe pas.
X...-+Xo
• Si on trouve une suite de vecteurs (Xn) de 'D(f), convergente vers X 0 , telle que
lim f(Xn) est facile à calculer, alors si lim f(X) existe, sa valeur est égale
n--++oo
X--+Xo