3.4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
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par rapport à la i-ème variable (ou par rapport à la variable xi) lorsque la fonction
d'une seule variable
gi : Xi t--+ 9i(xi) = f (x10, ... , X(i-l)o, Xi, X(i+l)O ... , Xno) est continue. 9i est
appelée lai-ème fonction partielle de f en Xo.
Traduisons cette définition dans une situation usuelle : si f est une fonction des trois
variables (x, y, z), la continuité partielle de f en Xo = (xo, yo, zo) par rapport à la
1 re variable (par rapport à x) signifie que la fonction 91 : x i---+ 91 ( x) = f ( x, Yo, zo)
est continue.
Le lien entre la notion de continuité et celle de continuité partielle est assuré par
la propriété
Proposition 3.30 Si f est une fonction de plusieurs variables continue en Xo,
alors f est partiellement continue par rapport à toutes ses variables.
Preuve Il suffit de se rendre compte que la i-ème fonction partielle 9i de f
en Xo se décompose comme f o Ui, Ui étant la fonction de IR. vers JR.P définie
par ui(t) = (x10, ... , X(i-l)o, t, X(i+l)O ... , Xno). Cette fonction Ui est évidemment
continue, puisque ses fonctions composantes sont continues en tant que fonctions
toutes constantes, sauf la i-ème qui est la fonction identique t t---t t qui est aussi
continue.
D
Remarque : Attention ! La réciproque est fausse, ainsi que nous le verrons un
peu plus loin.
3.4.5 Méthodes pour démontrer une limite
Lorsque l'on doit démontrer qu'une fonction f admet une limite pour X -t Xo,
en général, c'est qu'il y a un problème en Xo : la formule définissant f (X) n'est
pas valable lorsqu'on remplace X par Xo. Il y a principalement deux types de
situation:
• soit Xo t/. 'D(f) et on demande de trouver, si elle existe, lim f(X);
X-tXo
• soit f(Xo) est défini à part, et on se demande si f est continue.
Dans les deux cas, la démarche est la même : on cherche si lim f(X) existe, et
X-tXo
X=IXo
si oui, on cherche à déterminer sa valeur.
En général, il faut essayer de deviner si on va démontrer que la limite existe ou si
au contraire on va montrer que cette limite n'existe pas. On dispose du théorème
suivant:
Théorème 3.31 (caractérisation séquentielle des limites) Soit f une fonction de p variables définie au voisinage de Xo E JR.P; alors lim f(X) = R si et
X-tXo
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par rapport à la i-ème variable (ou par rapport à la variable xi) lorsque la fonction
d'une seule variable
gi : Xi t--+ 9i(xi) = f (x10, ... , X(i-l)o, Xi, X(i+l)O ... , Xno) est continue. 9i est
appelée lai-ème fonction partielle de f en Xo.
Traduisons cette définition dans une situation usuelle : si f est une fonction des trois
variables (x, y, z), la continuité partielle de f en Xo = (xo, yo, zo) par rapport à la
1 re variable (par rapport à x) signifie que la fonction 91 : x i---+ 91 ( x) = f ( x, Yo, zo)
est continue.
Le lien entre la notion de continuité et celle de continuité partielle est assuré par
la propriété
Proposition 3.30 Si f est une fonction de plusieurs variables continue en Xo,
alors f est partiellement continue par rapport à toutes ses variables.
Preuve Il suffit de se rendre compte que la i-ème fonction partielle 9i de f
en Xo se décompose comme f o Ui, Ui étant la fonction de IR. vers JR.P définie
par ui(t) = (x10, ... , X(i-l)o, t, X(i+l)O ... , Xno). Cette fonction Ui est évidemment
continue, puisque ses fonctions composantes sont continues en tant que fonctions
toutes constantes, sauf la i-ème qui est la fonction identique t t---t t qui est aussi
continue.
D
Remarque : Attention ! La réciproque est fausse, ainsi que nous le verrons un
peu plus loin.
3.4.5 Méthodes pour démontrer une limite
Lorsque l'on doit démontrer qu'une fonction f admet une limite pour X -t Xo,
en général, c'est qu'il y a un problème en Xo : la formule définissant f (X) n'est
pas valable lorsqu'on remplace X par Xo. Il y a principalement deux types de
situation:
• soit Xo t/. 'D(f) et on demande de trouver, si elle existe, lim f(X);
X-tXo
• soit f(Xo) est défini à part, et on se demande si f est continue.
Dans les deux cas, la démarche est la même : on cherche si lim f(X) existe, et
X-tXo
X=IXo
si oui, on cherche à déterminer sa valeur.
En général, il faut essayer de deviner si on va démontrer que la limite existe ou si
au contraire on va montrer que cette limite n'existe pas. On dispose du théorème
suivant:
Théorème 3.31 (caractérisation séquentielle des limites) Soit f une fonction de p variables définie au voisinage de Xo E JR.P; alors lim f(X) = R si et
X-tXo