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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE ][~.1' VERS ]Rn
Preuve Pour définir la notion de limite ou de continuité d'une fonction de E
vers F, on passe par les coordonnées dans une base ou un repère dans chacun de
ces espaces et on se ramène ainsi à une fonction de JR.P vers IR.n. Pour montrer que
le choix de la base (ou du repère) est sans importance sur le résultat, il est clair
qu'il suffit de montrer la continuité de l'application changement de base (ou de
repère).
Or, ce résultat est une conséquence du lemme qui suit.
0
Lemme 3.28 Soit E un espace vectoriel ou affine de dimension finie n.
Soient B1 et B2 deux bases (ou repères cartésiens) de E.
Pour i E {1, 2}, soit 'l/Ji l'application de E vers IR.n qui à un élément X de E fait
correspondre le n-uple 'l/Ji(X) de ses coordonnées dans la base (ou le repère) Bi.
Alors l'application ' l /J1 o ' l/J2 1 qui va de IR.n dans lui-même est continue.
Remarquons que cette application ' l /J1 o ' l/J2 1 est l'application changement de base
(ou de repère) de B2 vers B1.
En effet, elle associe aux coordonnées dans B2 d'un élément X de E les coordonnées
de X dans 81.
Preuve Il suffit de se rappeler les formules de changement de base (ou de repère).
Si X a pour coordonnées ( ] dans la base B1 et (1) dans la base B,, on a
{
~1 := aux! + · · · 7 alnX~ [ :+ xm]
Xn = an1x! + · · · + annX~ [ + Xnn]·
La matrice ( aij) 1,,;;i,,;;n est la matrice de changement de base, elle est formée par
1,,;;j,,;;n
la juxtaposition des vecteurs-colonnes coordonnées dans la base B1 des vecteurs
de 82. (On rajoute les constantes xrn seulement si on est dans un espace affine,
(xrn)i,,;;i,,;;n étant alors les coordonnées de l'origine n du repère B2 dans le repère
81). Ces formules caractérisent l'application ' l /J1 o ' l/J2 1 , puisqu'elles donnent les
Xi en fonction des x~. Chaque ligne caractérise une des fonctions coordonnées
de ' l /J1 o ' l/J2 1 , et il est clair que ces fonctions coordonnées sont continues puisque
définies seulement avec des produits et des sommes.
' l /J1 o 'l/J2 1 est donc continue.
0
3.4.4 Continuité partielle
Définition 3.29 Soit f une fonction de plusieurs variables: f est une fonction de
JR.P vers IR.. On dit que f est partiellement continue en Xo = (x10, ... , XiQ, ... , Xno)
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE ][~.1' VERS ]Rn
Preuve Pour définir la notion de limite ou de continuité d'une fonction de E
vers F, on passe par les coordonnées dans une base ou un repère dans chacun de
ces espaces et on se ramène ainsi à une fonction de JR.P vers IR.n. Pour montrer que
le choix de la base (ou du repère) est sans importance sur le résultat, il est clair
qu'il suffit de montrer la continuité de l'application changement de base (ou de
repère).
Or, ce résultat est une conséquence du lemme qui suit.
0
Lemme 3.28 Soit E un espace vectoriel ou affine de dimension finie n.
Soient B1 et B2 deux bases (ou repères cartésiens) de E.
Pour i E {1, 2}, soit 'l/Ji l'application de E vers IR.n qui à un élément X de E fait
correspondre le n-uple 'l/Ji(X) de ses coordonnées dans la base (ou le repère) Bi.
Alors l'application ' l /J1 o ' l/J2 1 qui va de IR.n dans lui-même est continue.
Remarquons que cette application ' l /J1 o ' l/J2 1 est l'application changement de base
(ou de repère) de B2 vers B1.
En effet, elle associe aux coordonnées dans B2 d'un élément X de E les coordonnées
de X dans 81.
Preuve Il suffit de se rappeler les formules de changement de base (ou de repère).
Si X a pour coordonnées ( ] dans la base B1 et (1) dans la base B,, on a
{
~1 := aux! + · · · 7 alnX~ [ :+ xm]
Xn = an1x! + · · · + annX~ [ + Xnn]·
La matrice ( aij) 1,,;;i,,;;n est la matrice de changement de base, elle est formée par
1,,;;j,,;;n
la juxtaposition des vecteurs-colonnes coordonnées dans la base B1 des vecteurs
de 82. (On rajoute les constantes xrn seulement si on est dans un espace affine,
(xrn)i,,;;i,,;;n étant alors les coordonnées de l'origine n du repère B2 dans le repère
81). Ces formules caractérisent l'application ' l /J1 o ' l/J2 1 , puisqu'elles donnent les
Xi en fonction des x~. Chaque ligne caractérise une des fonctions coordonnées
de ' l /J1 o ' l/J2 1 , et il est clair que ces fonctions coordonnées sont continues puisque
définies seulement avec des produits et des sommes.
' l /J1 o 'l/J2 1 est donc continue.
0
3.4.4 Continuité partielle
Définition 3.29 Soit f une fonction de plusieurs variables: f est une fonction de
JR.P vers IR.. On dit que f est partiellement continue en Xo = (x10, ... , XiQ, ... , Xno)