3.4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
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pour le dénominateur, on raisonne un peu de la même façon : si
u3 : (x, y, z) i-------+ (x 2 , y 2 ).
on a u3 = (c o p1, c o P2) donc u3 est continue.
Ensuite on considère u4 = S o u3, qui est continue. u4 est définie par
. (
)
( 2 2)
2
2
U4 • X, y, Z 1-------+ X , y 1-------+ X +y .
On considère maintenant u5 = c o p3, qui est continue et est définie par
U5 : (X, y, Z) 1-------+ Z 1-------+ z 2 .
On pose maintenant u5 = ( u4, u5) et on obtient (enfin ! ) la quantité sous le radical
avec la fonction R = S o U6
Si on pose h(t) = ~·et w1 =ho R, ce sont des fonctions continues et on a
1
w1 : (x, y, z) i-------+ J 2 2 2
X +y +z
Pour terminer, on pose w2 = (N, w1) et on constate qu'on a f =Po w2 puisque
(
)
2+. 2
2
. 2
1
yex sm z
f : (X' y' z) i-------+ y ex +sm z' J 2 2 2 i-------+ J 2 2 2 = J (X' y' z).
x +y +z
x +y +z ·
Donc f est continue (ouf!)
Il est bien évident qu'un tel raisonnement n'est pas à refaire. En pratique, on se
contentera de dire « f est clairement continue sur JR 3 \ {(O, 0, O)} ».
3.4.3 Changement de base, de repère
Nous avons maintenant les moyens de démontrer une propriété très importante
en théorie de l'analyse en dimension finie.
Théorème 3.27 La notion de limite ou de continuité d'une fonction d'un espace
vectoriel ou affine E de dimension finie p vers un espace vectoriel ou affine F de
dimension finie n ne dépend pas de la base ou du repère choisi dans chacun de
ces espaces.
De même la convergence d'une suite à valeurs dans un espace affine ou vectoriel
E est indépendante de la base ou du repère de E choisi.