78
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
Il n'est pas possible de démontrer rigoureusement un énoncé aussi vague, mais
nous allons essayer d'en expliquer le principe :
Toute fonction fabriquée avec une seule formule ne contenant que des opérations
usuelles et des fonctions usuelles continues peut en fait se décomposer en une
succession de fonctions d'une ou plusieurs variables, toutes continues.
Illustrons simplement ce type de raisonnement par un exemple :
Soit f l'application définie sur ~ 3 \ { (0, 0, 0)} par
Montrons que f est continue.
Nous allons décomposer f en une composition de fonctions toutes continues.
Considérons
u1 : (x,y,z) f---+ x f---+ x 2 .
u1 est une application continue comme composée u1 = c o Pl, c étant la fonction
« carré » x f---+ x 2 est classiquement continue, Pl qui est la première projection de
~ 3 vers ~ est continue d'après la Proposition 3.23 p. 77.
Soit maintenant
u2 : (x, y, z) f---+ z f---+ sin 2 z.
Elle se décompose aussi u2 = 91 op3 avec p3 troisième projection et 91 z f---+ sin 2 z
fonction continue, donc u2 est aussi continue.
On définit maintenant
v1 : (x,y,z) f---+ (u1(x,y,z),u2(x,y,z)) = (x 2 ,sin 2 z).
v1 est continue puisque ses fonctions composantes u1 est u2 le sont.
Maintenant v2 = S o v1 (S : notation de la proposition 3.25 p. 77) définie par
v2 : (x, y, z) f---+ (x 2 , sin 2 z) f---+ x 2 + sin 2 z
est bien sûr continue et v3 = exp ov2 est elle aussi continue. On a
On considère ensuite
2+. 2
V3 : (x, y, z) f---+ ex sm z.
V4 : (x, y, z) f---+ (y, ex2+sin2 z).
C'est une application de ~ 3 vers ~ 2 dont les fonctions composantes sont p2 et v3 :
elle est continue.
Ensuite on prend N = Pov4 (P: notation de la proposition 3.25 p. 77). C'est une
application continue et elle associe à tout (x, y, z) le numérateur de f(x, y, z) :
N : (x,y,z) f---+ (P2(x,y,z),v3(x,y,z)) = (y,é2+sin2z) f---+ yex2+sin2z.