3,4 ÉTUDE PRATIQUE DES LIMITES DE FONCTIONS RÉELLES DE PLUSIEURS VARIABLES
77
3.4.2 Fonctions continues «de référence»
proposition 3.23 (continuité des projections)
Soit Pi lai-ème projection de JRP vers R
Pi est l'application qui à tout vecteur X = ( x1, ... , Xi, ... , Xp) associe Xi pour
i E {1,. .. ,p}).
Alors Pi est continue.
Preuve Soit Xo = (x10, ... , XiQ, ... , Xpo) E JRP. Montrons la continuité de Pi en
Xo, qui est quelconque, ce qui assurera la continuité de Pi·
\:;/é > 0, on peut affirmer qu'il existe 1J = é > 0
tel que si on a llX - Xolloo:::;; 1J alors on a m;pc lxj-Xjol:::;; 1J = é (en effet laj-ème
l~J~P
composante de X - Xo est bien sûr égale à la différence des j-èmes composantes
de X et de Xo, c'est-à-dire Xj - Xjo).
En particulier, on a bien sûr lxi - xiOI :::;; é.
Mais ceci signifie clairement que IPi(X) - Pi(Xo)I :::;; é. Ce qui est souligné permet
d'affirmer que Pi est continue en Xo d'après la proposition 3.22 ci-dessus.
D
On en déduit la proposition suivante qui généralise ce résultat.
Corollaire 3.24 Si J = {j1, ... ,jm} c {1, ... ,p} est un sous-ensemble de m
indices, alors l'application PJ de JRP vers JRm définie par
est continue.
Preuve Il suffit de remarquer que toutes les applications composantes de PJ
sont des projections Pik, qui sont continues d'après la Proposition 3.23 p. 77. D
Proposition 3.25 (Opérations)
Soit S l'application de JR 2 vers JR, définie par S(x, y) = x +y.
Alors S est continue.
Soit P l'application de JR 2 vers JR, définie par P(x, y) = xy.
Alors P est continue.
Preuve Ces deux résultats sont des corollaires immédiats des propositions
correspondantes concernant la somme et le produit des limites (Propositions 3.9
et 3.10 p. 70-71), appliquées aux fonctions projections PI et P2.
D
Corollaire 3.26 Toute fonction fabriquée avec une seule formule ne contenant
que des opérations usuelles ( +, x , - , /) et des fonctions usuelles continues ( 1 · 1
(valeur absolue), sin, cos, exp, ln, arcsin, r, r, sh, argth, ... ) est continue.
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3.4.2 Fonctions continues «de référence»
proposition 3.23 (continuité des projections)
Soit Pi lai-ème projection de JRP vers R
Pi est l'application qui à tout vecteur X = ( x1, ... , Xi, ... , Xp) associe Xi pour
i E {1,. .. ,p}).
Alors Pi est continue.
Preuve Soit Xo = (x10, ... , XiQ, ... , Xpo) E JRP. Montrons la continuité de Pi en
Xo, qui est quelconque, ce qui assurera la continuité de Pi·
\:;/é > 0, on peut affirmer qu'il existe 1J = é > 0
tel que si on a llX - Xolloo:::;; 1J alors on a m;pc lxj-Xjol:::;; 1J = é (en effet laj-ème
l~J~P
composante de X - Xo est bien sûr égale à la différence des j-èmes composantes
de X et de Xo, c'est-à-dire Xj - Xjo).
En particulier, on a bien sûr lxi - xiOI :::;; é.
Mais ceci signifie clairement que IPi(X) - Pi(Xo)I :::;; é. Ce qui est souligné permet
d'affirmer que Pi est continue en Xo d'après la proposition 3.22 ci-dessus.
D
On en déduit la proposition suivante qui généralise ce résultat.
Corollaire 3.24 Si J = {j1, ... ,jm} c {1, ... ,p} est un sous-ensemble de m
indices, alors l'application PJ de JRP vers JRm définie par
est continue.
Preuve Il suffit de remarquer que toutes les applications composantes de PJ
sont des projections Pik, qui sont continues d'après la Proposition 3.23 p. 77. D
Proposition 3.25 (Opérations)
Soit S l'application de JR 2 vers JR, définie par S(x, y) = x +y.
Alors S est continue.
Soit P l'application de JR 2 vers JR, définie par P(x, y) = xy.
Alors P est continue.
Preuve Ces deux résultats sont des corollaires immédiats des propositions
correspondantes concernant la somme et le produit des limites (Propositions 3.9
et 3.10 p. 70-71), appliquées aux fonctions projections PI et P2.
D
Corollaire 3.26 Toute fonction fabriquée avec une seule formule ne contenant
que des opérations usuelles ( +, x , - , /) et des fonctions usuelles continues ( 1 · 1
(valeur absolue), sin, cos, exp, ln, arcsin, r, r, sh, argth, ... ) est continue.