76
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
Proposition 3.19 Si f est une fonction continue de JR.P vers IR.n, si g est une
fonction continue de IR.n vers IR.m, alors g o f est une fonction continue partout où
elle est définie.
De même, si f est une fonction de JR.P vers IR.n telle que lim f(X) = L, si g est
X--tXo
une fonction de IR.n vers IR.m définie et continue au voisinage de L, alors on a
lim (go f)(X) = g(L).
X--tXo
Remarquons que dans cet énoncé en particulier, comme d'ailleurs dans tout ce§,
il est tout à fait possible qu'un ou plusieurs des entiers m, n, p soient égaux à 1.
Proposition 3.20 Une fonction de JR.P vers IR.n est continue [resp. continue en
Xo] [resp. continue sur l'] si et seulement si ses n fonctions composantes sont
continues [resp. continues en Xo] [resp. continues sur l'].
Proposition 3.21 Une fonction f de JR.P vers IR.n est continue en Xo si et seulement si étant définie en Xo, on a
(3.14) VE > 0, :377 > 0 tel que llX - Xoll ~ 77}
et XE 'D(J) ===> llf(X) - f(Xo)ll ~ é.
Proposition 3.22 (continuité d'une fonction réelle de plusieurs variables)
Une fonction f de JR.P vers IR. est continue en Xo si et seulement si étant définie en
Xo, on a
(3.15) Vé > 0, :377 > 0 tel que llX - Xoll ~ 77}
et XE 'D(J) ===> IJ(X) - J(Xo)I ~ é.
Dans ces deux dernières propositions, on peut bien sûr remplacer les ~ par des <.
Nous sommes maintenant armés pour étudier concrètement les limites et la
continuité des fonctions de plusieurs variables.
3.4 Étude pratique des limites de fonctions réelles de plusieurs
variables
3.4.l Présentation de la situation
Dans ce §, nous considérerons des fonctions f à valeurs dans IR., définies sur une
partie de JR.P. Dans la plupart des exemples, p vaut 2, et parfois 3, mais en théorie,
p peut prendre n'importe quelle valeur entière non nulle, et même 1, mais alors ce
n'est plus intéressant : f serait dans ce cas une fonction d'une seule variable.