3,3 LIMITES ET FONCTIONS COORDONNÉES
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Le plus grand des lfi(X) - fil est donc lui aussi < é. Mais ce max est
0
Un corollaire important en est le suivant.
Proposition 3.15 (linéarité de la limite) Si f et g sont deux fonctions de JRP
vers ]Rn, définies au voisinage de Xo, et admettant une limite en Xo, si À et µ
sont deux réels quelconques, alors la fonction (de JRP vers ]Rn) Àf + µg admet une
limite en Xo et on a :
si lim f(X) =Let lim g(X) = M, alors
X--+Xo
X--tXo
lim (.Xf(X) + µg(X)) =.XL+ µM.
X--tXo
La démonstration est immédiate en considérant les fonctions coordonnées et le
Corollaire 3.11 (p. 72).
3.3.5 Continuité
Définition 3.16 (continuité en un point) Une fonction f de JRP vers ]Rn est
continue en Xo lorsque f est définie en Xo, et au voisinage de Xo, et lorsque f
admet une limite en Xo (qui ne peut être que f(Xo), d'après la Proposition 3.4
p. 66). On retient
f continue en Xo {::::::::} lim f(X) = f(Xo).
X--tXo
Définition 3.17 (continuité globale) Une fonction f de JRP vers ]Rn est continue sur un sous-ensemble E de son ensemble de définition lorsque pour tout
Xo E E, on a f continue en Xo.
Une fonction f de JRP vers ]Rn est continue lorsqu'elle est continue sur son ensemble
de définition.
Ces définitions sont évidemment les mêmes que pour la continuité des fonctions
réelles d'une variable.
Nous admettrons les propriétés suivantes qui sont en fait très simples à démontrer
car ce sont simplement des conséquences des propriétés correspondantes sur les
limites.
Proposition 3.18 Si f et g sont deux fonctions de JRP vers ]Rn continues [resp.
continues en Xo] [resp. continues sur E], alors pour tous À,µ réels, Àf + µg est
continue [resp. continue en Xo] [resp. continue sur E].