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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
Il existe 1J > 0 tel que pour llX - Xoll ~ 1J, on a d'une part llX - Xoll ~ 7]1, donc
ê
llf(X)ll ~ M, et d'autre part, on a llX - Xoll ~ 1]2, donc llg(X)ll ~ CM'
En multipliant ces deux inégalités de nombres positifs, on trouve donc
ê
ê
llf(X)ll llg(X)ll ~MC M = c·
Or, on a llf(X) · g(X)ll ~ Cllf(X)ll llg(X)ll ~ C ~ = ê, donc on obtient bien
llf(X) · g(X)ll ~ ê.
0
3.3.4 Théorème fondamental
Voyons à présent la propriété essentielle qui permet de simplifier l'étude des
fonctions de JRP vers !Rn.
Théorème 3.14 Soit f une fonction de JRP vers !Rn et soient (!1, ... , fn) les fonctions coordonnées de f. On suppose que L = (R1, ... ,Rn)· On a alors l'équivalence
suivante :
lim f(X) = L ~ [vi E {1, ... , n}, on a lim fi(X) = .ei].
x~xo
x~Xo
L'immense intérêt de cette propriété est de permettre de remplacer l'étude de
toute fonction vectorielle (à valeurs dans !Rn) par l'étude de n fonctions réelles (à
valeurs dans IR) ce qui est a priori bien plus simple.
Preuve du théorème fondamental
Si lim f (X) = L :
X~Xo
Pour un io quelconque montrons que lim fio (X) = Rio.
x~xo
Soit ê > O;
d'après l'hypothèse, :37] > 0 tel que si llX - Xoll < 1], alors llf(X) - Llloo < ê.
Or, llf(X)-Llloo = m~x lfi(X)-Ril, donc on a (pour ces X tels que llX-Xoll < TJ)
l~i~n
lfio(X) -Riol~ llf(X) - Llloo< ê,
ce qui achève la démonstration du théorème dans le sens ===}.
Réciproquement, si \::li E {1, ... ,n}, on a lim fi(X) =Ri alors:
X~Xo
soit ê >O. D'après l'hypothèse, il existe pour chaque i entre 1 et n, un 1Ji > 0 qui
assure que dès que llX - Xoll < 1Ji, on peut en déduire lfi(X) - fil < ê.
Posons 1J = m.in 1Ji. Ce nombre est strictement positif. On peut donc dire :
l~i~n
:37] > 0 tel que llX - Xoll < 1J implique que pour chaque i, puisque 1J ~ 1Ji, on a
llX - Xoll < 1Ji et donc lfi(X) - fil < ê.