3.3 LIMITES ET FONCTIONS COORDONNÉES
73
On peut alors appliquer le Théorème 3.7 (p. 68) sur les fonctions composées,
puisque y= ho f.
La deuxième partie s'obtient tout simplement en combinant cette première partie
avec le résultat sur le produit de deux limites de la Proposition 3.10 (p. 71) puisque
t=f·l. g
g
Un autre résultat utile est le suivant :
Théorème 3.13 Si f et g sont deux fonctions.définies sur une partie U de JRP,
et à valeurs respectivement dans les espaces vectoriels de dimension finie E et F.
On suppose qu'il existe une multiplication · entre les éléments de E et F, à valeurs
dans un espace vectoriel G, lui aussi de dimension finie.
On suppose de plus qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tous (Y, Z) E
E x F, on a llY · Zll :::;;; C llYll llZll ·
Si f est une fonction bornée dans un voisinage de Xo EU, et si lim g(X) =Op,
X-+Xo
alors on a : lim (f(X) · g(X)) = Oa.
X-+Xo
Ce théorème affirme que le produit d'une fonction bornée par une fonction qui
tend vers 0 a aussi une limite nulle.
En pratique, les 5 multiplications que l'on peut rencontrer qui vérifient les hypothèses sont les suivantes ;
• E = F = G = lR et· est la multiplication de deux réels (on a bien IY ZI :::;;; IYI IZI
puisqu'on a l'égalité : on prend C = 1).
• E = F = G =
• E = lR et F = G = JRP; · est la multiplication externe d'un réel et d'un vecteur
(on a bien 11>-Zll :::;;; l>-1 llZll puisqu'on a l'égalité: on prend C = 1).
• E = G = JRP et F = lR; · est encore la multiplication externe d'un réel et d'un
vecteur, mais ici, c'est la fonction à valeurs réelles qui a une limite nulle et celle
qui a ses valeurs vectorielles qui est bornée.
• E = F = JRP et G = lR ; · est le produit scalaire de deux vecteurs (on a bien
IY · ZI :::;;; llYll llZll (Cauchy-Schwarz) et on prend C = 1).
• E = F = G = JR 3 et ·est le produit vectoriel de deux vecteurs/\ (il est classique
que llY /\ Zll = llYll llZll I sin(Y, Z)I, donc on a bien llY · Zll :::;;; llYll llZll : on
prend C = 1).
Preuve du théorème Soit E > 0
Le fait que f soit bornée dans un voisinage de Xo impose qu'il existe un ry1 > 0 et
un réel M > 0 tels que pour tous X tels que llX - Xoll :::;;; f/1, on a llf(X)ll :::;;; M.
Pour E 1 = CEM' puisque lim g(X) =Op, il existe ry2 > 0 tel que pour tout X tel
X-+0
ê
que llX - Xoll:::;;; f/2 on a llg(X)ll:::;;; CM'
Il suffit maintenant de choisir fJ = min { f/1, f/2}.
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On peut alors appliquer le Théorème 3.7 (p. 68) sur les fonctions composées,
puisque y= ho f.
La deuxième partie s'obtient tout simplement en combinant cette première partie
avec le résultat sur le produit de deux limites de la Proposition 3.10 (p. 71) puisque
t=f·l. g
g
Un autre résultat utile est le suivant :
Théorème 3.13 Si f et g sont deux fonctions.définies sur une partie U de JRP,
et à valeurs respectivement dans les espaces vectoriels de dimension finie E et F.
On suppose qu'il existe une multiplication · entre les éléments de E et F, à valeurs
dans un espace vectoriel G, lui aussi de dimension finie.
On suppose de plus qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tous (Y, Z) E
E x F, on a llY · Zll :::;;; C llYll llZll ·
Si f est une fonction bornée dans un voisinage de Xo EU, et si lim g(X) =Op,
X-+Xo
alors on a : lim (f(X) · g(X)) = Oa.
X-+Xo
Ce théorème affirme que le produit d'une fonction bornée par une fonction qui
tend vers 0 a aussi une limite nulle.
En pratique, les 5 multiplications que l'on peut rencontrer qui vérifient les hypothèses sont les suivantes ;
• E = F = G = lR et· est la multiplication de deux réels (on a bien IY ZI :::;;; IYI IZI
puisqu'on a l'égalité : on prend C = 1).
• E = F = G =
• E = lR et F = G = JRP; · est la multiplication externe d'un réel et d'un vecteur
(on a bien 11>-Zll :::;;; l>-1 llZll puisqu'on a l'égalité: on prend C = 1).
• E = G = JRP et F = lR; · est encore la multiplication externe d'un réel et d'un
vecteur, mais ici, c'est la fonction à valeurs réelles qui a une limite nulle et celle
qui a ses valeurs vectorielles qui est bornée.
• E = F = JRP et G = lR ; · est le produit scalaire de deux vecteurs (on a bien
IY · ZI :::;;; llYll llZll (Cauchy-Schwarz) et on prend C = 1).
• E = F = G = JR 3 et ·est le produit vectoriel de deux vecteurs/\ (il est classique
que llY /\ Zll = llYll llZll I sin(Y, Z)I, donc on a bien llY · Zll :::;;; llYll llZll : on
prend C = 1).
Preuve du théorème Soit E > 0
Le fait que f soit bornée dans un voisinage de Xo impose qu'il existe un ry1 > 0 et
un réel M > 0 tels que pour tous X tels que llX - Xoll :::;;; f/1, on a llf(X)ll :::;;; M.
Pour E 1 = CEM' puisque lim g(X) =Op, il existe ry2 > 0 tel que pour tout X tel
X-+0
ê
que llX - Xoll:::;;; f/2 on a llg(X)ll:::;;; CM'
Il suffit maintenant de choisir fJ = min { f/1, f/2}.