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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE RP VERS Rn
Combinant ces quatre inégalités entre nombres positifs de la façon suivante
(3.10)x(3.11) + (3.13)x(3.12),
on obtient
lf(X) - f1I X lg(X)I + IRil X lg(X) - f2I ~ (2(IR2f + 1)) X (IR2I + 1)
+ (IR1I + 1) X (2(IR1f + 1)) = ê.
On conclut en utilisant l' « astuce » signalée en début de démonstration :
puisque
on en déduit que
l(fg)(X) - f1f2I ~ ê
et on a bien montré que lim (fg)(X) = f1f2.
X-+Xo
On en déduit le corollaire :
D
Corollaire 3.11 (linéarité des limites) Si f et g sont deux fonctions de JRP
vers lR telles que lim f (X) = f1 et lim g(X) = f2.
X-+Xo
X-+Xo
Alors, pour tous À, µ réels, on a
lim (Àf + µg)(X) = Àf1 + µf2.
X-+Xo
Pour démontrer cet énoncé, il suffit de combiner les deux propositions précédentes
3.9 et 3.10, en établissant auparavant (ce qui est très facile) qu'une fonction
constante X t-----+ À est telle que pour tout Xo, on a lim À= À.
X-+Xo
On a aussi le corollaire suivant :
Corollaire 3.12 Si f et g sont deux fonctions de JRP vers lR telles que lim f(X) =
X-+Xo
f1 et lim g(X) = R2.
X-+Xo
1
1
Si f1 f= 0, on a )~111-o f (X) = Ri·
.
.
f(X)
f1
Si f2 f= 0, on a hm (X) = 0 ·
X-+Xo g
.c.2
La première partie de ce résultat s'établit en considérant la fonction de lR dans lR
qui associe à tout t f= 0 le réel h(t) = t· On sait que cette fonction h est continue,
donc on a lim h(t) = h(f1) = : ·
t-+l1
q