3,3 LIMITES ET FONCTIONS COORDONNÉES
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Proposition 3.10 (multiplication) Si f et g sont deux fonctions de JRP vers lR
telles que lim f(X) = fl et lim g(X) = f2. Alors on a lim (! g)(X) = fl f2.
X-+Xo
X-+Xo
X-+Xo
Preuve Pour trouver le nombre 17 correspondant au nombre€ quelconque qu'on
se donne, on utilise l' « astuce » :
lf(X)g(X) - flf2I = lf(X)g(X) - flg(X) + flg(X) - flf2I
~ lf(X)g(X) - flg(X)I + lf1g(X) - flf2I
~ IJ(X) - fll lg(X)I + lf1l lg(X) - f21·
Tous les X de cette démonstration seront supposé~ appai:tenir à 'D(f g) = 'D(f) n
V(g).
Soit€> O.
Pour € 1 = (If f ) > 0, puisque lim f(X) = fl, 3171 > 0 tel que si llX -Xoll ~
2 2 + 1
X-+Xo
171, alors on a lf(X) - fll ~ €
1 = 2 (lf 2 f + l).
De même, pour€"= min {1, (If f ) } > 0, puisque lim g(X) = f2, 3172 > 0
2 1 + 1
X-+Xo
tel que si llX - Xoll ~ 172, alors on a lg(X) -f2I ~ €" ~ 2 (lf 1 f + l) ·
Pour ces mêmes X tels que llX - Xoll ~ 172, on a aussi lg(X) -f2I ~ €" ~ 1, donc
en utilisant la deuxième inégalité triangulaire
lg(X)l - lf2I ~ jlg(X)l - lf2lj ~ lg(X) - f21~1,
et on obtient lg(X)I ~ lf2I + 1.
On prendra 17 = min{171,172} >O. On peut donc affirmer que 317 >O.
Si X est un élément de 'D(fg) tel que llX - Xoll ~ 17,
alors on a à la fois llX - Xoll ~ 111 et llX - Xoll ~ 172·
On a donc, d'une part, puisque llX - Xoll ~ 111
(3.10)
D'autre part, puisque llX - Xo Il ~ 172
(3.11)
De plus, toujours puisque llX - Xoll ~ 112
(3.12)
Enfin, on a banalement
(3.13)