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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
3.3.3 Opérations sur les limites des fonctions de plusieurs variables
Nous allons établir, pour des fonctions de ~P vers~. les propriétés d'opérations
sur les limites, comparables à ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une seule
variable réelle. Les démonstrations sont d'ailleurs en tout point semblables à celles
des propriétés analogues pour les limites des fonctions numériques d'une seule
variable.
Proposition 3.9 (addition) Si f et g sont deux fonctions de ~P vers~ telles
que lim f (X) =fi et lim g(X) = f2.
X-+Xo
X-+Xo
Alors on a lim (! + g)(X) =fi+ f2.
X-+Xo
La démonstration est très simple à condition de savoir « couper un ê en deux ».
Preuve Soit ê > 0
Pour ~ > 0, puisque lim f(X) =fi, il existe ' f/1 > 0 tel que
X-+Xo
llX - Xoll :::;; 'f/1} ===> lf(X) - f 1 ~ f
et XE 'D(J)
1 """ 2·
De même, pour ~ > 0, puisque lim g(X) = f2, il existe 'f/2 > 0 tel que
X-+Xo
llX-Xoll:::;; 'f/2} ===> lg(X)-f 1 ~ f
et XE 'D(g)
2 """ 2·
On peut donc affirmer qu'il existe 'f/ = min{'f/1, 'f/2} > 0 tel que si on a
{
llX - Xo Il :::;; 'f/
.
et X E 'D(J + g), pmsque V(!+ g) =V(!) n V(g), on a
d'une part
(3.8)
{ llX - Xoll:::;; ' f/1
ê
et XE 'D(J) donc lf(X) - fil :::;; 2 ,
et d'autre part
(3.9)
{ llX - Xoll :::;; 'f/2 donc lg(X) - f 1 ~ :..
et X E V(g)
2 """ 2
En additionnant les deux inégalités (3.8) et (3.9), on obtient
et puisque par inégalité triangulaire,
IJ(X) + g(X) - (f1 + f2)1:::;; IJ(X) -fil+ lg(X) - f21·
on peut conclure que l(J + g)(X) - (f1 + f2)1 :::;; ê.
D
De même, avec une démonstration sensiblement plus compliquée, on a le résultat
analogue pour la limite d'un produit de deux fonctions.