3,3 LIMITES ET FONCTIONS COORDONNÉES
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alors on en déduit d'abord forcément que X E V(!), et f(X) E V(g) (c'est
nécessaire et suffisant pour que XE 'D(g o !)) donc on a llf(X) - Yoll < E 1 = 7],
et ensuite, d'après (3.7), JJg(f(X)) - ZoJJ < E c'est-à-dire 119 o f(X) - Zoll < ê. D
3.3 Limites et fonctions coordonnées
3.3.1 Fonctions coordonnées
Pour l'instant, nous ne nous sommes pas intéressés à l'aspect particulier des
fonctions de JRP vers ]Rn. Comme dans le chapitre précédent, ces fonctions ont des
fonctions coordonnées, et on peut se ramener à l'étude de fonctions à valeurs dans
JR..
Soit f une fonction de JR.P vers ]Rn.
Alors, pour tout XE V(!), puisque f(X) E JRn, si on pose Y= f(X), le vecteur Y
possède des composantes (yi, y2, ... , Yn)· à chaque XE V(!), correspond donc n
nombres réels Yi; cela définit donc n fonctions de JRP vers JR, notées (!1, /2, ... , fn)·
fi est la fonction qui à tout X EV(!) associe lai-ème composante de f(X).
Les fonctions fi sont les fonctions composantes ou fonctions coordonnées de f.
Notons que X en tant que vecteur de JRP possède aussi des composantes : on peut
poser X= (x1, x2, ... , xp)· On peut donc considérer que les fi sont des fonctions
réelles des p variables xi, ... , Xp. (D'où le nom : fonctions de plusieurs variables).
3.3.2 Limite d'une fonction numérique de plusieurs variables
Cette notion n'est en fait pas absolument nouvelle, car c'est un cas particulier des
limites étudiées dans la section précédente. En effet, nous n'avons pas exclu que n
soit égal à 1, et nous avons admis que lR 1 = JR.
Donc une fonction de plusieurs variables qui va de W vers lR n'est rien d'autre
qu'une fonction de JRP vers ]Rn avec n = 1. Nous allons cependant expliciter ce
que deviennent les définitions dans ce cas pour préparer la suite.
N'oublions pas que dans lR = JR 1 , les trois normes usuelles sont en fait égales à la
valeur absolue.
Proposition 3.8 Soit fun fonction numérique de plusieurs variables (x1, ... , xn),
et R un réel. Alors on a
X lim f(X) = R ~ [vê > 0, :3ry > O tel que llX - Xoll ~ ' fJ} ===> lf(X)-RI ~ E]
--+Xo
et X E 'D(f)
"" .
Bien entendu, on peut remplacer un ou les deux~ par des <.
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alors on en déduit d'abord forcément que X E V(!), et f(X) E V(g) (c'est
nécessaire et suffisant pour que XE 'D(g o !)) donc on a llf(X) - Yoll < E 1 = 7],
et ensuite, d'après (3.7), JJg(f(X)) - ZoJJ < E c'est-à-dire 119 o f(X) - Zoll < ê. D
3.3 Limites et fonctions coordonnées
3.3.1 Fonctions coordonnées
Pour l'instant, nous ne nous sommes pas intéressés à l'aspect particulier des
fonctions de JRP vers ]Rn. Comme dans le chapitre précédent, ces fonctions ont des
fonctions coordonnées, et on peut se ramener à l'étude de fonctions à valeurs dans
JR..
Soit f une fonction de JR.P vers ]Rn.
Alors, pour tout XE V(!), puisque f(X) E JRn, si on pose Y= f(X), le vecteur Y
possède des composantes (yi, y2, ... , Yn)· à chaque XE V(!), correspond donc n
nombres réels Yi; cela définit donc n fonctions de JRP vers JR, notées (!1, /2, ... , fn)·
fi est la fonction qui à tout X EV(!) associe lai-ème composante de f(X).
Les fonctions fi sont les fonctions composantes ou fonctions coordonnées de f.
Notons que X en tant que vecteur de JRP possède aussi des composantes : on peut
poser X= (x1, x2, ... , xp)· On peut donc considérer que les fi sont des fonctions
réelles des p variables xi, ... , Xp. (D'où le nom : fonctions de plusieurs variables).
3.3.2 Limite d'une fonction numérique de plusieurs variables
Cette notion n'est en fait pas absolument nouvelle, car c'est un cas particulier des
limites étudiées dans la section précédente. En effet, nous n'avons pas exclu que n
soit égal à 1, et nous avons admis que lR 1 = JR.
Donc une fonction de plusieurs variables qui va de W vers lR n'est rien d'autre
qu'une fonction de JRP vers ]Rn avec n = 1. Nous allons cependant expliciter ce
que deviennent les définitions dans ce cas pour préparer la suite.
N'oublions pas que dans lR = JR 1 , les trois normes usuelles sont en fait égales à la
valeur absolue.
Proposition 3.8 Soit fun fonction numérique de plusieurs variables (x1, ... , xn),
et R un réel. Alors on a
X lim f(X) = R ~ [vê > 0, :3ry > O tel que llX - Xoll ~ ' fJ} ===> lf(X)-RI ~ E]
--+Xo
et X E 'D(f)
"" .
Bien entendu, on peut remplacer un ou les deux~ par des <.