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~par des <. Plus précisément, on a
lim J(X) = L
X-+Xo
{::=:} [vc > 0, 317 > O tel que
{::=:} [vc > 0, 317 > O tel que
{::=:} [vc > 0, 317 > O tel que
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
llX - Xoll < 17} ==? Il/ (X) _ Lll < c]
et XE 'D(f)
llX - Xoll ~ 17} ==? llJ(X) _Lli < c]
et XE 'D(f)
llX - Xoll < 17} ==? Il! (X) - Lll ~ c]
et X E 'D(f)
~
.
Preuve Puisque l'ensemble des boules ouvertes [fermées] de centre L [ou de
centre Xo] forme une base de voisinages de L [de Xo], il est possible d'utiliser
n'importe laquelle de ces bases de voisinages dans le rôle de B ou B' dans la
proposition 3.5 (p. 66). Si par exemple B' est l'ensemble des boules ouvertes de
centre Xo, un élément de B' est caractérisé par la donnée de son rayon 17, et
trouver un élément dans B' revient à montrer l'existence d'un 17 > O. De sorte
que [ 3W E B' tel que X E W n 'D(f)] revient exactement à [ 317 > 0 tel que
llX - Xoll < 77}J
et XE 'D(f)
.
On raisonne de la même façon pour le rapport entre les c et les V.
D
3.2.4 Composition de limites
Théorème 3. 7 Soit f une fonction de JRP vers !Rn et g une fonction de !Rn vers
!Rm.
On suppose que lim f(X) = Yo et que lim g(Y) = Zo. On suppose de plus que
X-+Xo
Y-+~
Xo est bien un point d'accumulation de 'D(g o !).
Alors on a lim go f(X) = Zo.
X-+Xo
Preuve Soit c > O.
Puisque lim g(Y) = Zo, pour cet c,
Y-+Yo
(3.7) 317 > 0 tel que si llY - Yoll < 17, avec Y E 'D(g), alors llg(Y) - Zoll < c.
D'autre part, pour c 1 = 17 > 0, puisque lim f (X) = Yo, il existe 17 1 > 0 tel que
X-+Xo
llX - Xoll < 17 1 et XE 'D(f) implique 11/(X) - Yoll < c' = 17.
On a donc: 317' > 0 tel que si llX - Xoll < 17 1 , avec XE 'D(g o !),