3.2 LIMITES DES FONCTIONS DE ][p VERS !Rn
ou encore
lim f(X) = L Ç:::::> [vv E B, 3W E B' tel que f (W) c v].
X--+Xo
Preuve Tous les X considérés sont dans V(!).
Supposons tout d'abord que lim f (X) = L.
X--+Xo
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Soit V un voisinage de la base de voisinages B de L. Puisque V est un voisinage
de L, il existe une boule de centre L, de rayon r qui est incluse dans V (on ne
sait pas si elle est ouverte ou fermée).
Soit é = ~ > 0; pour cet é, d'après l'hypothèse, il existe 77 > 0 tel que llX-Xoll ~ 77
implique Il! (X) - Lll ~ é.
Considérons la boule B(Xo, 77). C'est un voisinage de Xo, et B' est une base de
voisinages de Xo: il existe donc WEB' tel que W c B(Xo, 77). Pour tout XE W,
on a donc XE B(Xo, 77) et llX-Xoll ~ 77. On peut donc affirmer que llf(X)-Lll ~
é et par conséquent f(X) E B(L,é). Or, cette boule est incluse dans la boule de
centre Let de rayon r, elle-même étant incluse dans V : on a donc établi que
f(X) EV.
Ce qui est souligné correspond à ce qu'on voulait démontrer.
Réciproquement : on suppose que
VVE B,3W E B' tel que XE W ===} f(X) EV.
Soit é > 0; la boule B(L, é) est un voisinage de Let Best une base de voisinages
de L: il existe donc un voisinage V de L, élément de B qui est inclus dans B(L,é).
D'après l'hypothèse, pour ce VE B, il existe un voisinage W de Xo, élément de
B', tel que XE W implique f(X) EV. Ce W étant un voisinage deXo, il existe
par définition d'un voisinage une boule de centre Xo, (que l'on peut choisir fermée,
quitte à diviser par deux son rayon), incluse dans W. Il existe donc un 77 > 0 qui
est son rayon. On a donc B(Xo, 77) c W. Si un X est tel que llX - Xoll ~ 77, alors
on en déduit que X E B(Xo, 77) c W donc X E W. On peut donc affirmer que
f(X) EV c B(L,é): on a f(X) E B(L,é), donc llf(X) - Lll ~ é
Ce qui est souligné ci-dessus est justement la caractérisation de la conclusion que
l'on voulait atteindre, à savoir lim f (X) = L.
D
X--+Xo
Corollaire 3.6 Dans la définition de la limite, on peut remplacer librement les