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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
(Il est toujours possible de trouver un tel X1, car Xo est un point d'accumulation
de 'D(f) : la boule ouverte de centre X 0 , de rayon rJ contient des points de 'D(f).)
D'une part, puisque llX1 - Xoll :::;; rJ:::;; rJ1, on doit avoir ll/(X1) - Lll : : : ; ; c = ~D'autre part, puisque llX1 - Xoll :::;; rJ:::;; rJ2, on doit avoir ll/(X1) - L'll : : : ; ; c = ~On aurait donc
R = llL - L'll = llL - /(X1) + /(X1) - L'll
:::;; llL- /(X1)ll + ll/(X1) - L'll
(inégalité triangulaire)
:::;; i1/(X1) - Lli+ ll/(X1) - L'll
R R
2R
:::;;3+3=3·
On aboutit à l'absurdité R:::;; 2 : (car R > 0).
L'hypothèse supplémentaire L f:. L' n'était donc pas compatible avec l'hypothèse
· · · 1
X--tXo
d
c
'
L L'
D
{
lim J(X) = L
m1tia e
lim J(X) = L'., one on a 1orcement = .
X--tXo
Voici maintenant une proposition qui lie la valeur de f(Xo) avec la limite de f en
Xo si elle existe.
Proposition 3.4 Si Xo E 'D(f) et si lim f(X) = L, alors nécessairement
X--tXo
L = J(Xo)
(Nous verrons plus loin que cela signifie que f est continue en Xo).
Preuve Pour tout c > 0, puisque Xo E 'D(f) et qu'on a 0 = llXo - Xoll :::;; rJ, on
a Il/ (Xo) - Lll < c. Cette dernière inégalité n'est possible pour tout c > 0 que si
f(Xo) = L.
D
3.2.3 Définition «topologique» des limites
Proposition 3.5 Soit f une fonction de JRP vers !Rn. Soit Xo un point d'accumulation de 'D(f) et soit L E !Rn.
Soient B et B' des bases de voisinages respectivement de L dans !Rn et de Xo dans
JRP.
Alors f admet L comme limite lorsque X tend vers Xo si et seulement si :
Pour tout voisinage V de la base de voisinages B de L, il existe un voisinage W de
la base de voisinages B' de Xo tel que pour tout XE W n 'D(f), on a /(X) EV.
Cette caractérisation se note formellement :
lim J(X) = L ~ [vv E B, :JW E B' tel que
X--tXo
XE W }
l
X E 'D(f) ===} f (X) E V