3.2 LIMITES DES FONCTIONS DE llP VERS Rn
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soit e > 0; alors pour e' = é > 0, il existe d'après (3.2) 17 1 > 0 tel que, lorsque
-
4
N(X - Xo) ~ r/, alors N(f(X) - L) ~ e 1 •
On pose alors 17 = C1r/. On peut affirmer que :317 > 0 tel que si llX - Xolla ~ 17,
alors d'après la partie gauche de (3.3), on a C1N(X -Xo) ~ 17 = C117', c'est-à-dire
N(X - Xo) ~ r/ donc d'après l'hypothèse (3.2) N(f(X) - L) ~ e 1 = é 4 et donc,
c 4 N(J(X) - L) ~ e. Utilisant maintenant la partie droite de (3.4), on obtient
llf(X) - Lli.a ~ e.
D
Conséquence : Dans la suite, on ne notera plus Il · lia ni Il · li.a les normes de JRP
ou !Rn, mais simplement Il · Il. Il est entendu que ce symbole désigne n'importe
quelle norme usuelle ou pas de :!Rn, mais en général on préférera comprendre qu'il
désigne la norme euclidienne.
3.2.2 Unicité de la limite
Proposition 3.3 (unicité) Si une fonction f de JR.P vers ]Rn admet une limite
L pour X-+ Xo, alors cette limite est unique.
Preuve Supposons que l'on ait à la fois lim f(X) =Let lim f(X) = L'.
X-tXo
X-tXo
Remarque : Le bon sens, et la transitivité de l'égalité semblent amener à
conclure immédiatement L = L'. Ce serait abusif, car pour l'instant, la notation
lim f(X) = L est une convention, dans laquelle le symbole= ne doit pas encore
X--+Xo
être pris au sens usuel. Après la démonstration de cette propriété, on pourra
oublier ces subtilités et comprendre ce symbole = comme d'habitude. (Voir aussi
la remarque suivant le théorème 1.25 p. 18).
D'après l'hypothèse, en ne considérant à nouveau que des X E 'D(f), les deux
assertions suivantes sont vraies :
(3.5)
(3.6)
Ve > 0, :3171 > 0,
Ve > 0, :3172 > 0,
!IX - Xoll ~ 171 ===? llf(X) - Lli ~ e
!IX - Xoll ~ 172 ===? llf(X) - L'll ~ e.
(Notons que pour le même e, il n'y a aucune raison que le 17 de la limite L soit le
même que le 17 de la limite L' : il faut donc distinguer ces 17 en les numérotant).
Nous allons raisonner par l'absurde : supposons L =/:- L'.
Soit R = llL - L'll > O.
Pour e =~'d'après (3.5), il existe 171 > 0 tel que llX-Xoll ~ 171 ===? llf(X)-Lll ~
ê.
D'après (3.6), il existe 172 > 0 tel que llX - Xoll ~ 172 ===? llf(X) - L'll ~ e.
Soit 17=min(17i,172); soit X1 tel que llX1 - Xoll ~ 17 et tel que X1 E 'D(f).
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soit e > 0; alors pour e' = é > 0, il existe d'après (3.2) 17 1 > 0 tel que, lorsque
-
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N(X - Xo) ~ r/, alors N(f(X) - L) ~ e 1 •
On pose alors 17 = C1r/. On peut affirmer que :317 > 0 tel que si llX - Xolla ~ 17,
alors d'après la partie gauche de (3.3), on a C1N(X -Xo) ~ 17 = C117', c'est-à-dire
N(X - Xo) ~ r/ donc d'après l'hypothèse (3.2) N(f(X) - L) ~ e 1 = é 4 et donc,
c 4 N(J(X) - L) ~ e. Utilisant maintenant la partie droite de (3.4), on obtient
llf(X) - Lli.a ~ e.
D
Conséquence : Dans la suite, on ne notera plus Il · lia ni Il · li.a les normes de JRP
ou !Rn, mais simplement Il · Il. Il est entendu que ce symbole désigne n'importe
quelle norme usuelle ou pas de :!Rn, mais en général on préférera comprendre qu'il
désigne la norme euclidienne.
3.2.2 Unicité de la limite
Proposition 3.3 (unicité) Si une fonction f de JR.P vers ]Rn admet une limite
L pour X-+ Xo, alors cette limite est unique.
Preuve Supposons que l'on ait à la fois lim f(X) =Let lim f(X) = L'.
X-tXo
X-tXo
Remarque : Le bon sens, et la transitivité de l'égalité semblent amener à
conclure immédiatement L = L'. Ce serait abusif, car pour l'instant, la notation
lim f(X) = L est une convention, dans laquelle le symbole= ne doit pas encore
X--+Xo
être pris au sens usuel. Après la démonstration de cette propriété, on pourra
oublier ces subtilités et comprendre ce symbole = comme d'habitude. (Voir aussi
la remarque suivant le théorème 1.25 p. 18).
D'après l'hypothèse, en ne considérant à nouveau que des X E 'D(f), les deux
assertions suivantes sont vraies :
(3.5)
(3.6)
Ve > 0, :3171 > 0,
Ve > 0, :3172 > 0,
!IX - Xoll ~ 171 ===? llf(X) - Lli ~ e
!IX - Xoll ~ 172 ===? llf(X) - L'll ~ e.
(Notons que pour le même e, il n'y a aucune raison que le 17 de la limite L soit le
même que le 17 de la limite L' : il faut donc distinguer ces 17 en les numérotant).
Nous allons raisonner par l'absurde : supposons L =/:- L'.
Soit R = llL - L'll > O.
Pour e =~'d'après (3.5), il existe 171 > 0 tel que llX-Xoll ~ 171 ===? llf(X)-Lll ~
ê.
D'après (3.6), il existe 172 > 0 tel que llX - Xoll ~ 172 ===? llf(X) - L'll ~ e.
Soit 17=min(17i,172); soit X1 tel que llX1 - Xoll ~ 17 et tel que X1 E 'D(f).