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note lim f (X) = L) lorsque
X--tXo
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
(3.1) Vê > 0, :377 > 0 tel que llX - Xolla ~ 77} ===? llf(X) _ Lll ~ ê
et X E 'D(f)
/3 ""' •
Remarque essentielle : Dans cette définition, Il · lla est une des 3 normes
usuelles de JRP et Il · 1113 est une des 3 normes usuelles de ]Rn.
On a vu que toutes les normes d'un espace vectoriel de dimension finie sont
équivalentes.
Comme conséquence, dans cette définition, on pourrait remplacer ces normes par
n'importe quelles autres normes. Précisons ce point.
Théorème 3.2 Si N (resp. Nj est une autre norme de JRP (resp. de ]Rn], alors
l'assertion {3.1} est vraie si et seulement si l'assertion suivante {3.2) est vraie.
,
.
N(X - Xo) ~ 77'}
-
(3.2)
Vê > 0, :377 > 0 tel que et XE 'D(f)
===? N(f(X) - L) ~ ê.
Cette propriété exprime que la définition de la limite est indépendante des normes
utilisées.
Preuve
Préliminaire : puisque N et N sont des normes équivalentes respectivement à
Il· lla et à Il· 1113, il existe 4 constantes strictement positives C1, C2, C3, C4, telles
que
(3.3)
(3.4)
\:IX E JRP,
\:/Y E lRn,
C1N(X) ~ llXlla ~ C2N(X)
C3N(Y) ~ llYll/3 ~ C4N(Y).
D'autre part, pour ne pas alourdir l'écriture, on ne considérera que des X appartenant à l'ensemble V(!) de définition de f.
Si {3.1) est vraie :
Soit ê > 0; pour ê 1 = ê C3 > 0, d'après (3.1), il existe 77 > 0 tel que, lorsque
llX - Xolla ~ 77, on peut en déduire 11/(X) - Lll13 ~ ê 1 •
On pose 77' = if2. On peut donc affirmer que :377' > 0
tel que si N(X - Xo) ~ 77', alors on a C2N(X - Xo) ~ 77 et donc, d'après la partie
droite de (3.3), on en déduit llX - Xolla ~ 77 d'où 11/(X) - Lll/3 ~ ê 1 •
Utilisant cette fois la partie gauche de (3.4), on en déduit que C3N(f (X)-L) ~ êC3
et finalement N(f(X) - L) ~ ê.
Ce qui est souligné ci-dessus est l'affirmation que (3.2) est vraie et on a fini de
montrer (3.1)===?(3.2).
Réciproquement, si {3.2) est vraie :