CHAPITRE 3
Fonctions de JRP vers ]Rn
3.1 Introduction
Nous traitons dans ce chapitre l'étude des fonctions de JRP vers ]Rn du point de
vue de l'analyse, c'est-à-dire que nous définissons leurs limites, leur continuité, et
la possibilité qu'on a de les dériver, et de les différentier, ce qui n'est pas pareil,
contrairement au fonctions d'une seule variable, comme nous le verrons.
C'est le gros morceau de ce cours.
Après une rapide présentation, nous expliquerons comment par l'intermédiaire
des fonctions composantes, on peut facilement se ramener à l'étude des fonctions
numériques de plusieurs variables, c'est-à-dire les fonctions de JRP vers R Nous
étudierons en détail, pour ces fonctions la notion de limite et de continuité, puis
nous introduirons la notion de dérivée partielle ; nous appliquerons cette notion
pour rechercher des extremums de fonctions. Ensuite nous étudierons la notion de
différentiabilité et nous mettrons en évidence l'intérêt des fonctions de classe C 1 .
Nous définirons la notion de différentielle d'une fonction et parlerons de formes
différentielles et de champs de vecteurs.
Revenant aux fonctions à valeurs dans ]Rn, nous définirons pour les fonctions
régulières la notion de matrice jacobienne et de jacobien, puis nous introduirons
le vocabulaire des opérateurs différentiels
3.2 Limites des fonctions de ffi.P vers Rn
3.2.1 Notion de limite
Définition 3.1 Soit f une fonction de JRP vers ]Rn. Soit Xo E JRP ; on suppose
que Xo est un point d'accumulation de l'ensemble 'D(f) de définition de f, (sans
forcément que f(Xo) existe). (En pratique, on aime mieux qu'il existe une boule
B de centre Xo, telle que B \ {Xo} soit incluse dans l'ensemble de définition de f,
c'est-à-dire que f soit définie « autour » de Xo).
On dit que f admet le vecteur L de ]Rn comme limite lorsque X tend vers Xo (on
Fonctions de JRP vers ]Rn
3.1 Introduction
Nous traitons dans ce chapitre l'étude des fonctions de JRP vers ]Rn du point de
vue de l'analyse, c'est-à-dire que nous définissons leurs limites, leur continuité, et
la possibilité qu'on a de les dériver, et de les différentier, ce qui n'est pas pareil,
contrairement au fonctions d'une seule variable, comme nous le verrons.
C'est le gros morceau de ce cours.
Après une rapide présentation, nous expliquerons comment par l'intermédiaire
des fonctions composantes, on peut facilement se ramener à l'étude des fonctions
numériques de plusieurs variables, c'est-à-dire les fonctions de JRP vers R Nous
étudierons en détail, pour ces fonctions la notion de limite et de continuité, puis
nous introduirons la notion de dérivée partielle ; nous appliquerons cette notion
pour rechercher des extremums de fonctions. Ensuite nous étudierons la notion de
différentiabilité et nous mettrons en évidence l'intérêt des fonctions de classe C 1 .
Nous définirons la notion de différentielle d'une fonction et parlerons de formes
différentielles et de champs de vecteurs.
Revenant aux fonctions à valeurs dans ]Rn, nous définirons pour les fonctions
régulières la notion de matrice jacobienne et de jacobien, puis nous introduirons
le vocabulaire des opérateurs différentiels
3.2 Limites des fonctions de ffi.P vers Rn
3.2.1 Notion de limite
Définition 3.1 Soit f une fonction de JRP vers ]Rn. Soit Xo E JRP ; on suppose
que Xo est un point d'accumulation de l'ensemble 'D(f) de définition de f, (sans
forcément que f(Xo) existe). (En pratique, on aime mieux qu'il existe une boule
B de centre Xo, telle que B \ {Xo} soit incluse dans l'ensemble de définition de f,
c'est-à-dire que f soit définie « autour » de Xo).
On dit que f admet le vecteur L de ]Rn comme limite lorsque X tend vers Xo (on