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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
3.5 Dérivation partielle
3.5.1 Présentation
La dérivation d'une fonction de plusieurs variables n'est pas aussi simple que
pour une fonction d'une seule variable, même à valeurs vectorielles. En effet, la
généralisation de la formule lim f(t) - f(to) qui définit la dérivée, si elle existe,
t-+to
t -· t 0
d'une fonction réelle d'une seule variable était possible, comme nous l'avons
vu au chapitre 2, aux fonctions vectorielles d'une seule variable sous la forme
lim - 1 - (f ( t) - f ( to)), mais pour une fonction de plusieurs variables, si X --+ X 0 ,
t-+to t - t 0
quel sens donner à X ~ Xo ?
Dans le contexte que nous utilisons, X - Xo est un vecteur, et s'il est possible
de multiplier un vecteur par un scalaire, s'il est dans certains cas possible de
multiplier entre eux deux vecteurs (produit scalaire, produit vectoriel. .. ) , si on
peut à la rigueur admettre de diviser un vecteur par un scalaire (en le multipliant
par l'inverse), en tout cas, il n'est jamais question de diviser par un vecteur.
Alors, comment s'en sort-on? C'est un point de détail qui vous a peut-être échappé
en première lecture dans le § 3.4.4 (p. 80), sur la continuité partielle qui nous
apporte la solution : la notion de fonction partielle notée 9i dans la définition
3.29, dont la continuité assurait la continuité partielle de f. Grâce à ces fonctions
partielles, en raisonnant comme pour la continuité partielle, nous définirons,
lorsqu'elles existent les dérivées partielles de f, et nous verrons ensuite quel lien il
y a entre les dérivées partielles et la notion de différentiabilité de f.
3.5.2 Dérivées partielles premières
Définition 3.35 Soit f une fonction de plusieurs variables, (de JR.P vers JR) et Xo
un point intérieur à 'D(f) (il existe une boule de centre Xo, de rayon non nul, incluse
dans 'D(f)). Soit 9i lai-ème fonction partielle de f en Xo = (x10, ... , Xio, ... , Xno).
lR i-------+ lR
Rappel:
9i : t i-------+ 9i(t) = f (x10, ... , X(i-1)0, t, X(i+l)O' ... , Xno).
On dit que f est partiellement dérivable en Xo par rapport à la i-ème variable
lorsque 9i est dérivable en XiQ. Dans ce cas, la dérivée partielle par rapport à la
i-ème variable de f en Xo est le nombre réel noté :
{) f (X ) = f' (X ) = ~ ( . ) = l" 9i ( Xo + h) - 9i ( Xo)
!::!
0
X.
0
9i XiO
lm
h
UXi
'
h-+0
_ 1 . f (x10, ... , XiQ + h, ... , Xno) - f (x10, ... , XiQ, ... , Xno)
-
im
h
.
h-+0
Pour bien comprendre cette définition, nous allons la traduire dans les cas particuliers où p = 2 ou p = 3.
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
3.5 Dérivation partielle
3.5.1 Présentation
La dérivation d'une fonction de plusieurs variables n'est pas aussi simple que
pour une fonction d'une seule variable, même à valeurs vectorielles. En effet, la
généralisation de la formule lim f(t) - f(to) qui définit la dérivée, si elle existe,
t-+to
t -· t 0
d'une fonction réelle d'une seule variable était possible, comme nous l'avons
vu au chapitre 2, aux fonctions vectorielles d'une seule variable sous la forme
lim - 1 - (f ( t) - f ( to)), mais pour une fonction de plusieurs variables, si X --+ X 0 ,
t-+to t - t 0
quel sens donner à X ~ Xo ?
Dans le contexte que nous utilisons, X - Xo est un vecteur, et s'il est possible
de multiplier un vecteur par un scalaire, s'il est dans certains cas possible de
multiplier entre eux deux vecteurs (produit scalaire, produit vectoriel. .. ) , si on
peut à la rigueur admettre de diviser un vecteur par un scalaire (en le multipliant
par l'inverse), en tout cas, il n'est jamais question de diviser par un vecteur.
Alors, comment s'en sort-on? C'est un point de détail qui vous a peut-être échappé
en première lecture dans le § 3.4.4 (p. 80), sur la continuité partielle qui nous
apporte la solution : la notion de fonction partielle notée 9i dans la définition
3.29, dont la continuité assurait la continuité partielle de f. Grâce à ces fonctions
partielles, en raisonnant comme pour la continuité partielle, nous définirons,
lorsqu'elles existent les dérivées partielles de f, et nous verrons ensuite quel lien il
y a entre les dérivées partielles et la notion de différentiabilité de f.
3.5.2 Dérivées partielles premières
Définition 3.35 Soit f une fonction de plusieurs variables, (de JR.P vers JR) et Xo
un point intérieur à 'D(f) (il existe une boule de centre Xo, de rayon non nul, incluse
dans 'D(f)). Soit 9i lai-ème fonction partielle de f en Xo = (x10, ... , Xio, ... , Xno).
lR i-------+ lR
Rappel:
9i : t i-------+ 9i(t) = f (x10, ... , X(i-1)0, t, X(i+l)O' ... , Xno).
On dit que f est partiellement dérivable en Xo par rapport à la i-ème variable
lorsque 9i est dérivable en XiQ. Dans ce cas, la dérivée partielle par rapport à la
i-ème variable de f en Xo est le nombre réel noté :
{) f (X ) = f' (X ) = ~ ( . ) = l" 9i ( Xo + h) - 9i ( Xo)
!::!
0
X.
0
9i XiO
lm
h
UXi
'
h-+0
_ 1 . f (x10, ... , XiQ + h, ... , Xno) - f (x10, ... , XiQ, ... , Xno)
-
im
h
.
h-+0
Pour bien comprendre cette définition, nous allons la traduire dans les cas particuliers où p = 2 ou p = 3.