3.5 DÉRIVATION PARTIELLE
91
Si f est une fonction de deux variables x et y, de JR. 2 vers JR, on définit la dérivabilité
partielle par rapport à la première variable x, de f en (xo, Yo) E 'D(f) par le
1 . f (xo + h, Yo) - f (xo, Yo) .
, 11 c 1
d ' 1
fait que im
h
existe et est ree e. e a correspon a a
h--tO
dérivabilité en xo de la première fonction partielle 91 en (xo, Yo), définie par
g 1 (t) = f(t,yo).
8f(
) !'(
) 1 . f(xo+h,yo)-f(xo,Yo)
'()
On a alors - 8 xo,Yo = x xo,Yo = im
h
= g1 xo .
X
h--tO
De même, f est dérivablE: en (xo, Yo) par rapport à y, la deuxième variable lorsque
d ,. bl
't'd" 1
1 . f(xo,Yo+k)-f(xo,yo) .
92 est enva e en Yo, ces -a- Ire orsque im
k
existe et
k--tO
est réelle.
8f(
) f'(
) 1 . f(xo,Yo)-f(xo,yo+k)
'( )
On a alors - 8 xo,Yo = y xo,Yo = im
k
= g2 xo .
y
k--tO
Étudions un exemple :
Soit f la fonction de deux variables définie par
f(x, y)= x 2 y.
L'ensemble de définition de cette fonction est évidemment JR. 2 . Soit (x0 , y0 ) E JR. 2
un point quelconque. La première fonction partielle de f en (xo, yo) est la fonction
g1 : t i--+ t 2 yo; elle est évidemment dérivable sur lR et donc en xo et Yi (t) = 2tyo,
de sorte qu'on a
8f
ax (xo, Yo) = 2xoyo.
D'autre part, la deuxième fonction partielle de f en (xo, Yo) est 92 : t i--+ x6t;
elle est dérivable sur JR, donc en Yo et on a g~ ( t) = x6 de sorte que
8f
2
ay (xo, Yo) = x0 .
Cet exemple illustre la situation que l'on rencontre le plus souvent : il n'est en
général pas besoin de recourir aux limites pour calculer les dérivées partielles. En
pratique, lorsque f est définie par une seule formule algébrique faisant apparaître
uniquement des fonctions de référence dérivables, on dérive f directement, en
considérant que les variables qui ne sont pas celle par rapport à laquelle on
dérive sont (provisoirement) des constantes. Précisons les choses. Pour dériver
partiellement f(x, y) = x 2 y par rapport à x, on considère que y est une constante,
x étant la seule variable : cela n'est pas différent de savoir dériver ax 2 , on sait bien
que la dérivée de ax 2 est 2ax; ici ce n'est pas une constante a mais une constante
y, le résultat est cependant le même, à savoir ~~ (x, y) = 2xy et on retrouve ce
qu'on avait obtenu en (xo, Yo).
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Si f est une fonction de deux variables x et y, de JR. 2 vers JR, on définit la dérivabilité
partielle par rapport à la première variable x, de f en (xo, Yo) E 'D(f) par le
1 . f (xo + h, Yo) - f (xo, Yo) .
, 11 c 1
d ' 1
fait que im
h
existe et est ree e. e a correspon a a
h--tO
dérivabilité en xo de la première fonction partielle 91 en (xo, Yo), définie par
g 1 (t) = f(t,yo).
8f(
) !'(
) 1 . f(xo+h,yo)-f(xo,Yo)
'()
On a alors - 8 xo,Yo = x xo,Yo = im
h
= g1 xo .
X
h--tO
De même, f est dérivablE: en (xo, Yo) par rapport à y, la deuxième variable lorsque
d ,. bl
't'd" 1
1 . f(xo,Yo+k)-f(xo,yo) .
92 est enva e en Yo, ces -a- Ire orsque im
k
existe et
k--tO
est réelle.
8f(
) f'(
) 1 . f(xo,Yo)-f(xo,yo+k)
'( )
On a alors - 8 xo,Yo = y xo,Yo = im
k
= g2 xo .
y
k--tO
Étudions un exemple :
Soit f la fonction de deux variables définie par
f(x, y)= x 2 y.
L'ensemble de définition de cette fonction est évidemment JR. 2 . Soit (x0 , y0 ) E JR. 2
un point quelconque. La première fonction partielle de f en (xo, yo) est la fonction
g1 : t i--+ t 2 yo; elle est évidemment dérivable sur lR et donc en xo et Yi (t) = 2tyo,
de sorte qu'on a
8f
ax (xo, Yo) = 2xoyo.
D'autre part, la deuxième fonction partielle de f en (xo, Yo) est 92 : t i--+ x6t;
elle est dérivable sur JR, donc en Yo et on a g~ ( t) = x6 de sorte que
8f
2
ay (xo, Yo) = x0 .
Cet exemple illustre la situation que l'on rencontre le plus souvent : il n'est en
général pas besoin de recourir aux limites pour calculer les dérivées partielles. En
pratique, lorsque f est définie par une seule formule algébrique faisant apparaître
uniquement des fonctions de référence dérivables, on dérive f directement, en
considérant que les variables qui ne sont pas celle par rapport à laquelle on
dérive sont (provisoirement) des constantes. Précisons les choses. Pour dériver
partiellement f(x, y) = x 2 y par rapport à x, on considère que y est une constante,
x étant la seule variable : cela n'est pas différent de savoir dériver ax 2 , on sait bien
que la dérivée de ax 2 est 2ax; ici ce n'est pas une constante a mais une constante
y, le résultat est cependant le même, à savoir ~~ (x, y) = 2xy et on retrouve ce
qu'on avait obtenu en (xo, Yo).