92
CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
De même, pour dériver f par rapport à y, (on omet souvent le terme «partiellement») on considère que dans x 2 y, x est une constante: (c'est comme si on avait
à dériver 7r 2 y, on sait bien qu'on trouverait 7r 2 ) on obtient ~~ (x, y) = x 2 , c'est
conforme à ce qu'on avait obtenu en passant par la deuxième fonction partielle en
(xo, Yo).
Voyons maintenant un autre exemple où il faudra revenir à la définition avec les
limites.
Soit f définie sur ~ 2 par
{
f(x, y) = x 2 X: y 2 si (x, y) =J (0, 0)
J(O, 0) =O.
On cherche à étudier les dérivabilités partielles de f en tout (xo, Yo) de ~ 2 ( « les »,
car il y a la dérivabilité partielle par rapport à x et par rapport à y).
Il est clair qu'il y a deux cas différents à étudier selon que (xo, Yo) = (0, 0) ou
(xo, Yo) =J (0, 0). :
Pour (xo, Yo) =J (0, 0), on est dans la situation de l'exemple précédent. Pour dériver
par rapport à x, on considère que y est une constante, et on a juste à dériver
une fraction rationnelle (lorsqu'on n'a pas l'habitude, sur un brouillon, on peut
remplacer y par a : on dérive 2 ax 2 puis on remplace dans le résultat a par y).
X +a
8f (
) y(x 2 + y 2 ) - xy(2x)
y 2 - x 2
- x y -
- y - - - -
8x ' -
(x2 + y2)2
-
(x2 + y2)2 ·
Pour dériver par rapport à y, c'est x que l'on considère comme une constante:
remplaçons le par b; on doit donc dériver g2(y)
b 2 by 2 , avec y qui est la
+y
variable.
I
b(b2 + y2) - by(2y)
b2 - y2
On a 92(Y) =
(b2 + y2)2
= b (b2 + y2)2 ·
On remplace alors b par x, et on obtient
{)j
x2 -y2
-{) (x,y) =X ( 2
2)2'
y
X +y
Remarquons que l'expression que l'on obtient est très similaire à celle de ~~ (x, y).
Il suffi.sait d'échanger le rôle de x et y dans l'expression de ~~ (x, y) pour obtenir
~~ (x, y). C'est logique car x et y jouent dans l'expression de f(x, y) des rôles
tout à fait symétriques. On utilisera souvent cette technique pour éviter de refaire
des calculs en tout point similaires à ce qu'on vient de faire.