3,5 DÉRIVATION PARTIELLE
93
Voyons maintenant ce qui se passe en (0, 0).
Il n'est pas question ici d'utiliser uniquement l'expression f(x, y) = 2 xy 2 car
X +y
cette expression n'est pas valable justement en (0, 0). On sait cependant que
f (0, 0) existe et vaut O.
Il est nécessaire ici de revenir à la définition. f est dérivable par rapport à x en
(0, O) si et seulement si la première fonction partielle 91 de f en (0, 0) est dérivable
en O.
t. o
Or, ici 91 est définie par 91(t) = f(t,0), donc si t =/:- 0, 91(t) = t 2 +0 2 = 0 et pour
t = 0, gi(O) = f(O, 0) =O.
On a donc pour tout t E ~. 91(t) =O. Cette fonction 91 est donc l'application
constante t t---+ 0, qui est dérivable, dont la dérivée est partout nulle. f est donc
dérivable par rapport à x en (0, 0) et on a
âf
âx (0,0) =O.
Pour la dérivée partielle de f par rapport à y en (0, 0), on peut évidemment refaire
le même raisonnement (ou même se contenter d'un «de même»), mais nous allons
voir la démarche que l'on utilise le plus souvent.
f est dérivable par rapport à y en (0, 0) si et seulement si le quotient
f(O, 0 + k) - f(O, 0)
. .
k
admet une hm1te lorsque k--+ O. Or,
f(O, 0 + k) - f(O, 0) = 0 - 0 = O--+ O.
k
k
k~O
Donc f est dérivable par rapport à y en (0, 0) et ~~ (0, 0) = O.
Remarque : Cet exemple a été étudié du point de vue de la limite en (0, 0)
au § 3.4.5 (p. 83). On avait vu que f n'admet pas de limite en (0, 0). f n'est
donc pas continue en (0, 0), alors que nous venons de montrer qu'on peut l'y
dériver. Quelle est l'explication de ce mini-paradoxe? En fait, il n'y a aucun
paradoxe : simplement, pour une fonction de plusieurs variables, l'existence des
dérivées partielles n'implique pas la continuité de la fonction, contrairement à ce
qui se passe pour une fonction d'une seule variable, où on sait qu'une fonction
dérivable en to est nécessairement continue en to. D'ailleurs, on parle simplement
de dérivabilité partielle. Elle correspond à la dérivabilité des fonctions partielles
9i, qui sont des fonctions d'une seule variable. Ces fonctions partielles sont donc
continues si f est partiellement dérivable. Mais justement, nous avons signalé
(voir la remarque 3.4.4 p. 81) que la continuité des fonctions partielles n'implique
pas celle de la fonction f. Finalement, c'est très cohérent!
Voyons maintenant un exemple pour une fonction de 3 variables.
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Voyons maintenant ce qui se passe en (0, 0).
Il n'est pas question ici d'utiliser uniquement l'expression f(x, y) = 2 xy 2 car
X +y
cette expression n'est pas valable justement en (0, 0). On sait cependant que
f (0, 0) existe et vaut O.
Il est nécessaire ici de revenir à la définition. f est dérivable par rapport à x en
(0, O) si et seulement si la première fonction partielle 91 de f en (0, 0) est dérivable
en O.
t. o
Or, ici 91 est définie par 91(t) = f(t,0), donc si t =/:- 0, 91(t) = t 2 +0 2 = 0 et pour
t = 0, gi(O) = f(O, 0) =O.
On a donc pour tout t E ~. 91(t) =O. Cette fonction 91 est donc l'application
constante t t---+ 0, qui est dérivable, dont la dérivée est partout nulle. f est donc
dérivable par rapport à x en (0, 0) et on a
âf
âx (0,0) =O.
Pour la dérivée partielle de f par rapport à y en (0, 0), on peut évidemment refaire
le même raisonnement (ou même se contenter d'un «de même»), mais nous allons
voir la démarche que l'on utilise le plus souvent.
f est dérivable par rapport à y en (0, 0) si et seulement si le quotient
f(O, 0 + k) - f(O, 0)
. .
k
admet une hm1te lorsque k--+ O. Or,
f(O, 0 + k) - f(O, 0) = 0 - 0 = O--+ O.
k
k
k~O
Donc f est dérivable par rapport à y en (0, 0) et ~~ (0, 0) = O.
Remarque : Cet exemple a été étudié du point de vue de la limite en (0, 0)
au § 3.4.5 (p. 83). On avait vu que f n'admet pas de limite en (0, 0). f n'est
donc pas continue en (0, 0), alors que nous venons de montrer qu'on peut l'y
dériver. Quelle est l'explication de ce mini-paradoxe? En fait, il n'y a aucun
paradoxe : simplement, pour une fonction de plusieurs variables, l'existence des
dérivées partielles n'implique pas la continuité de la fonction, contrairement à ce
qui se passe pour une fonction d'une seule variable, où on sait qu'une fonction
dérivable en to est nécessairement continue en to. D'ailleurs, on parle simplement
de dérivabilité partielle. Elle correspond à la dérivabilité des fonctions partielles
9i, qui sont des fonctions d'une seule variable. Ces fonctions partielles sont donc
continues si f est partiellement dérivable. Mais justement, nous avons signalé
(voir la remarque 3.4.4 p. 81) que la continuité des fonctions partielles n'implique
pas celle de la fonction f. Finalement, c'est très cohérent!
Voyons maintenant un exemple pour une fonction de 3 variables.