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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
Soit f définie sur JR 3 par
{
(x2 + 1) y2
f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2 z 2 si (x, y, z) =f (0, 0, 0)
f (0, 0, 0) = o.
La dérivabilité partielle de f par rapport à chacune des trois variables sur JR 3 \
(0, 0, 0) ne pose qu'un problème de calcul. En effet, pour (xo, Yo, zo) =f (0, 0, 0), les
trois fonctions partielles sont
91:
92:
93:
Elles sont évidemment dérivables partout, donc respectivement en xo, yo, zo.
On trouve pour tout (x,y,z) =f (0,0,0) (exercice)
âf
2x(y 2 + 2z 2 - 1) y 2
âx (x, y, z) = (x2 + y2 + 2z2)2
âf (
) _ (x 2 +1)2y(x 2 + 2z 2 )
ây x, y, z -
(x2 + y2 + 2z2)2
âf
-2z(x 2 + 1) y 2
âz (x, y, z) = (x2 + y2 + 2z2)2.
En (0, 0, 0), les fonctions partielles sont
{
(t 2 + 1) 0 2
91 : t i-------+ t2 + 02 + 2 . 02 = 0 pour t =f 0
0 i-------+ J(0,0,0) = 0
{
~2+1)~
~
92 : t i-------+ 02 + t2 + 2 . 02 = t2 = 1 pour t =f 0
0 i-------+ f (0, 0, 0) = 0
{
(0 2 + 1) 0 2
93 : t i-------+ 02 + 02 + 2t2 = 0 pour t =f 0
0 i-------+ f(0,0,0) =o.
Les fonctions 91 et 93 sont constantes sur lR donc dérivables de dérivée nulle en 0,
et on peut affirmer que f est partiellement dérivable en (0, 0, 0) par rapport à x
et par rapport à z avec
âf
âf
âx (0, 0, 0) = âz (0, 0, 0) = O.