3,5 DÉRIVATION PARTIELLE
95
Mais g2 étant discontinue en 0, elle n'est certainement pas dérivable en 0 et f n'est
pas partiellement dérivable en (0, 0, 0) par rapport à y. On peut aussi retrouver
ce résultat avec la méthode plus usuelle : la dérivabilité partielle de f par rapport
.
1 f .
1
.
f (0, 0 + k, 0) - f (0, 0, 0)
à y se tradmt par e ait que e quotient
k
admette une
limite réelle pour k --+ O. Or,
f (0, 0 + k, 0) - f (0, 0, 0)
k
Ce dernier quotient n'a pas de limite finie pour k--+ 0, donc f n'est pas partiellement dérivable par rapport à y.
Bien entendu, comme pour les dérivées des fonctions d'une variable, on peut définir
la fonction dérivée partielle par rapport à lai-ème variable 8
8 f , dont l'ensemble de
Xi
définition est l'ensemble des X de 'D(f) pour lesquels f est partiellement dérivable
par rapport à Xi :
âf
âf
-â : Xi-------+ -â (X).
Xi
Xi
Cette fonction dérivée partielle est aussi une fonction de p variables, et il n'est
pas impossible de la dériver partiellement à son tour, ce que nous ferons un peu
plus loin.
3.5.3 Propriétés des dérivées partielles
Tout d'abord une formalisation d'une propriété déjà signalée :
Proposition 3.36 Toute fonction fabriquée avec une seule formule ne contenant
que des opérations usuelles ( +, x, -, /) et des fonctions usuelles dérivables (sin,
cos, tan, arctan, exp, ln, sh, ch, th, argsh, argth, ... ) est partiellement dérivable
par rapport à chacune de ses variables. On dérive partiellement par rapport à Xi
une telle fonction en considérant Xi comme la seule variable, les Xj pour j f= i
étant considérées comme des constantes, et on applique les règles usuelles de
dérivation des fonctions d'une seule variable.
Attention ! certaines fonctions usuelles ne sont pas dérivables sur leur ensemble
de définition. C'est le cas des fonctions 1 · 1 (valeur absolue), arcsin, arccos, '\/',
fi, argch. Si l'expression définissant une fonction f contient une de ces fonctions,
méfiance! elle n'est peut-être pas partiellement dérivable.
Les propriétés suivantes généralisent aux dérivées partielles des propriétés classiques de la dérivation.
Proposition 3.37 (linéarité de la dérivation partielle) Si f et g sont deux
fonctions de plusieurs variables dérivables partiellement par rapport à Xi, alors
95
Mais g2 étant discontinue en 0, elle n'est certainement pas dérivable en 0 et f n'est
pas partiellement dérivable en (0, 0, 0) par rapport à y. On peut aussi retrouver
ce résultat avec la méthode plus usuelle : la dérivabilité partielle de f par rapport
.
1 f .
1
.
f (0, 0 + k, 0) - f (0, 0, 0)
à y se tradmt par e ait que e quotient
k
admette une
limite réelle pour k --+ O. Or,
f (0, 0 + k, 0) - f (0, 0, 0)
k
Ce dernier quotient n'a pas de limite finie pour k--+ 0, donc f n'est pas partiellement dérivable par rapport à y.
Bien entendu, comme pour les dérivées des fonctions d'une variable, on peut définir
la fonction dérivée partielle par rapport à lai-ème variable 8
8 f , dont l'ensemble de
Xi
définition est l'ensemble des X de 'D(f) pour lesquels f est partiellement dérivable
par rapport à Xi :
âf
âf
-â : Xi-------+ -â (X).
Xi
Xi
Cette fonction dérivée partielle est aussi une fonction de p variables, et il n'est
pas impossible de la dériver partiellement à son tour, ce que nous ferons un peu
plus loin.
3.5.3 Propriétés des dérivées partielles
Tout d'abord une formalisation d'une propriété déjà signalée :
Proposition 3.36 Toute fonction fabriquée avec une seule formule ne contenant
que des opérations usuelles ( +, x, -, /) et des fonctions usuelles dérivables (sin,
cos, tan, arctan, exp, ln, sh, ch, th, argsh, argth, ... ) est partiellement dérivable
par rapport à chacune de ses variables. On dérive partiellement par rapport à Xi
une telle fonction en considérant Xi comme la seule variable, les Xj pour j f= i
étant considérées comme des constantes, et on applique les règles usuelles de
dérivation des fonctions d'une seule variable.
Attention ! certaines fonctions usuelles ne sont pas dérivables sur leur ensemble
de définition. C'est le cas des fonctions 1 · 1 (valeur absolue), arcsin, arccos, '\/',
fi, argch. Si l'expression définissant une fonction f contient une de ces fonctions,
méfiance! elle n'est peut-être pas partiellement dérivable.
Les propriétés suivantes généralisent aux dérivées partielles des propriétés classiques de la dérivation.
Proposition 3.37 (linéarité de la dérivation partielle) Si f et g sont deux
fonctions de plusieurs variables dérivables partiellement par rapport à Xi, alors