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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS ]Rn
pour tous >., µ E JR, la fonction de plusieurs variables >.J + µg est partiellement
dérivable par rapport à Xi et on a
â( >.f + µg) = >. â f + µ âg .
ÔXi
ÔXi
ÔXi
Proposition 3.38 Si f et g sont deux fonctions de plusieurs variables dérivables
partiellement par rapport à Xi, alors la fonction de plusieurs variables f g est
partiellement dérivable par rapport à Xi et on a
â(J g) = â f g + f âg .
ÔXi
ÔXi
ÔXi
Une situation destinée à devenir très importante est celle où les fonctions dérivées
partielles sont continues.
Définition 3.39 Une fonction de plusieurs variables f (de JRP vers JR) est dite de
classe ci sur un sous-ensemble U de 'D(f) lorsque f est partiellement dérivable
par rapport à chacune de ses p variables en tout x E U et que de plus, pour tout
i E {1, ... ,p}, 8
8 1 est une fonction (de plusieurs variables) continue surU. Une
Xi
fonction est dite simplement de classe ci lorsqu'elle est de classe ci sur 'D(J).
De façon évidente, la somme, le produit de fonctions de classe ci sont des
fonctions de classe ci. De même, toutes les fonctions fabriquées uniquement avec
des opérations usuelles et des fonctions usuelles dérivables dont les dérivées sont
classiquement continues sont de classe ci.
3.5.4 Dérivée d'une fonction composée
Nous allons étudier ici une propriété très importante généralisant la formule
de dérivation des fonctions composées (! o g)' = (!' o g) · g'. Un peu plus loin,
nous irons encore plus loin dans la généralisation, mais pour l'instant, nous nous
contenterons de dériver une fonction réelle d'une seule variable dont la définition
utilise une fonction de plusieurs variables :
La situation que nous allons étudier est celle d'une fonction F, de lR dans JR, qui
se décompose de la façon suivante :
F=fou
avec
F
t
f---+
f---+
f(ui(t), ... , up(t)) = F(t).