3,5 DÉRIVATION PARTIELLE
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Théorème 3.40 Avec les notations définies ci-dessus, si f est une fonction de
classe ci sur un domaine ouvert U, et si u est une fonction dérivable sur un
intervalle I, avec, Vt E J, u(t) EU;
alors F = f o u est une fonction dérivable sur I, et on a
F'(t) = t, u~(t) :~ (u(t)).
Avant de le démontrer, traduisons ce théorème dans le cas d'une fonction de deux
variables.
Si f est une fonction des deux variables x et y, de classe ci sur U, et si u est une
fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans U, de fonctions coordonnées ui
( ui(t))
et u2 (u(t) = u 2 (t) ),
alors F = f o u est dérivable sur I et on a
Cette dernière formule est très souvent utilisée entre autres par les physiciens qui
la notent en abrégé (en posant ui = x et u2 = y)
dF
âf dx âf dy
dt = âx dt + ây dt ·
Preuve du théorème pour une fonction de deux variables (la démonstration dans le cas général est du même type, mais est un peu plus lourde à
rédiger).
Soit to E I; on doit étudier la limite pour t -t to du rapport F(t) - F(to)t - to .
Pour cela, on utilise l'astuce
F(t)-F(to) = f(ui(t),u2(t)) - f(ui(to),u2(to))
= (!(ui(t),u2(t)) -f(ui(t),u2(to))) + (!(ui(t),u2(to)) -f(ui(to),u2(to)))
+
Nous considérons pour l'instant que test fixé, même s'il est destiné à varier et à
tendre vers t 0 .
On pose aussi x = ui(t), xo = ui(to), y= u2(t), Yo = u2(to).
Intéressons-nous d'abord au premier crochet Ai. Il s'écrit
Ai= f(x, y) - f(x, Yo).