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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS Rn
Si t est suffisamment proche de to, ce que nous supposons bien évidemment,
puisque u 1 et u2 sont continues, on est sûr que (x, y) et (x, yo) sont dans U, et on
peut affirmer que f est partiellement dérivable par rapport à y en (x, Yo). Appelons
92 la deuxième fonction partielle de f en (x, Yo). 92 est donc une fonction dérivable
en Yo
On peut écrire A1 = 92(y) - 92(Yo). Appliquons la formule des accroissements
finis entre Yo et y, pour cette fonction d'une variable 92 dérivable.
Il existe donc un nombre Ç entre Yo et y tel que
92(Y) - 92(Yo) = (y - Yo)~(Ç) = (y - Yo) ~~ (x, Ç).
En fait, Ç dépend de y, bien sûr, mais aussi de x, puisque la fonction 92 en dépend:
on écrira alors Ç = Ç(x,y)·
Remarquons que pour (x, y) --+ (xo, Yo), on peut affirmer que y--+ Yo et a fortiori
Ç(x,y) --+ Yo puisque ce nombre est « coincé » entre y et YO·
On a aussi le développement limité à l'ordre 1 de u2 au voisinage de to
u2(t) = u2(to) + (t - to)u~(to) + (t - to)E2(t)
On peut donc écrire
On a posé
avec lim é2(t) =O.
t-Ho
En considérant attentivement l'expression de é3(t), on constate qu'elle tend vers
0 lorsque t--+ to; il est entre autres essentiel de comprendre qu'on utilise ici la
t . 't' d âf
bt .
con mm e e ây pour o emr
. (âf
âf
)
.
(âf
âf
)
hm - 8 (u1(t), Ç(ui(t),u 2 (t)))-- 8 (xo, Yo) = hm
- 8 (x, y)-- 8 (xo, Yo) =O.
t-Ho
y
y
(x,y)--+(xo,yo)
y
y