3,5 DÉRIVATION PARTIELLE
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Nous appliquons maintenant la même démarche pour le terme A2 (en légèrement
plus simple : on n'aura plus à utiliser la continuité des dérivées partielles).
A2 = f (x, Yo) - f (xo, Yo).
On appelle 91 la première fonction partielle de f en (xo, Yo). 91 est dérivable en
xo. On obtient
A 2 = g1(x) - 91(xo) = (x - xo)(gi(xo) + c4(x)) avec lim c4(x) = 0
x-+xo
= (u1(t) - u1(to)) (~~ (xo, Yo) + c4(x))
= (t - to)(ui(to) + c5(t))(~~ (u1(to), u2(to)) + c4(u1(t))) avec l~1fo c5(t) = 0
A2 = (t - to)ui (to) ~~ (u1 (to), u2(to)) + (t - to)c5(t).
On a posé
c5(t) = c5(t) ( ~~ (u1 (to), u2(to)) + é4 (u1 {t))) + u! (to)c4( u1 (t)).
Il est ici tout à fait clair que lim c5(t) = O.
t-+to
Finalement, on obtient
F(t) - F(to)
A1 + A2
____.:...~--'----'-- = - - -
t-to
t-to
= u~(to) ~~ (u1 (to), u2(to)) + c3(t) + ui (to) ~~ ( u1 (to), u2(to)) + c5(t).
Puisque lim c3(t) = lim c5(t) = 0, on peut conclure que
t-+to
t-+to
lim F(t) - F(to) = F' (to) = u~(to) 8 8
1 (u1 (to), u2(to)) + ui (to) 8
81 (u1 (to), u2(to)).
t--tto
t - to
y
x
D
Un corollaire important de ce théorème en est une généralisation de la formule
des accroissements finis aux fonctions de plusieurs variables.
Théorème 3.41 (accroissements finis pour plusieurs variables)
Soit f une fonction de plusieurs variables, de classe C 1 sur un ouvert U c D(f).
Soit Xo E U, et X = Xo + H E U. On suppose de plus que tout le segment
[Xo, Xo + H] est inclus dans U. (Rappel: [Xo, Xo + H] = {Xo + tH 1 t E [O, 1]}}
Alors il existe 0E]O,1[ tel que
p
âf
f (Xo + H) = f (Xo) +~hi ÔXi (Xo +OH).