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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE l!P VERS nr
~a
X
(3.16)
Ce théorème se traduit ainsi : il existe toujours sur le segment [XoX] un point Xe
tel que la différence f(X) - f(Xo) s'exprime en fonction des dérivées partielles
en Xe. Remarquons que pour p = 1, on retrouve exactement le théorème des
accroissements finis pour les fonctions d'une variable.
Pour p = 2, ce théorème s'écrit
Si f est une fonction de 2 variables, de classe C 1 sur un ouvert U c D(f), si
Xo = (xo, Yo) EU, si X= (xo + h, Yo + k) EU, le segment [XoX] étant tout entier
inclus dans U, alors il existe 0 E]O, 1[ tel que
âf
âf
f(xo + h, Yo + k) = f(xo, Yo) + h âx (xo +Oh, Yo + Ok) + k ây (xo +Oh, Yo + Ok).
Preuve On introduit la fonction d'une variable
F(t) = f(Xo + tH) = f(x10 + thi, ... , Xpo + thp)·
On a bien sûr F(O) = f(Xo) et F(l) = f(X). Cette fonction est définie sur [O, 1]
par F =fou avec u : t ~ u(t) = Xo + tH, fonction de lR vers JRP, dont la
i-ème fonction composante est ui(t) = x10 + th1. On a uHt) =hi donc, d'après le
théorème 3.40 (p. 97), Fest dérivable et
p
âf
p âf
F'(t) = [ ; u~(t) âxi (u(t)) =[;hi âx/Xo + tH).
Mais cette fonction F étant dérivable sur [O, 1], on peut lui appliquer le théorème
des accroissements finis (pour les fonctions d'une seule variable!) entre 0 et 1 :
on a
30 E]O, 1[ tel que
F(li = ~(O) = F'(O).