3.5 DÉRIVATION PARTIELLE
101
Traduisant cette assertion avec les valeurs de F(l),F(O) et l'expression de F', on
obtient
30 E]O, 1[ tel que
p
âf
f(Xo + H) - J(Xo) =~hi Ôxi (Xo +OH).
0
Remarque : Dans les hypothèses du théorème 3.41, la condition que tout le
segment [XoX] soit inclus dans U est parfois vérifiée pour tous les couples de
points (Xo, X) de points de U : dans ce cas, on dit que U est convexe. Le domaine
U représenté sur la figure (3.16) de la page précédente n'est pas convexe, car on
peut y trouver deux points Y et Z tels que le segment [Y Z] n'est pas entièrement
inclus dans U.
Les domaines convexes sont des ouverts « de bonne qualité » dans lesquels il est
intéressant de travailler.
3.5.5 Dérivées partielles successives
Définition 3.42 Soit f une fonction des p variables x1, ... , Xp, de JR.P vers R On
suppose que f est partiellement dérivable par rapport à Xi en tout X dans un
domaine U c D(f). Si la fonction dérivée partielle 8 ° f est elle-même partiellement
Xi
dérivable par rapport à Xj en Xo EU, alors la dérivée partielle par rapport à Xj
de 8
81 en Xo s'appelle dérivée partielle seconde de f par rapport à Xj et Xi en
Xi
Xo et se note
(3.17)
0 °
2
t (Xo) = 0 ° ( 0 âf) (Xo) = (f~.)~.(Xo) = J;.x.(Xo)
Xj Xi
Xj
Xi
i
J
i
J
Si j = i, on parle de la dérivée partielle seconde par rapport à Xi en Xo et on note
8
8
2
{ (Xo) = 8
8 ( 0
81 ) (Xo) = (f~.)~.(Xo) = J;2(Xo).
Xi
Xi
Xi
' '
i
On peut ainsi définir les fonctions dérivées partielles secondes
a 2 J
,,
a 2 J ,,
{) {) = fx·x·
et
{) 2 = fx2·
Xi Xj
' 3
Xi
i
Si ces fonctions dérivées partielles secondes sont elles aussi partiellement dérivables,
on peut itérer le procédé et définir des dérivées partielles troisièmes (d'ordre 3)
(3.18)
a
3
J
a ( a
2
J )
/11
(!" )'
âxkÔXjÔXi = âxk ÔXjÔXi = f xixjxk = xixj xk etc.
et des dérivées partielles d'ordre n.