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CHAPITRE 3. FONCTIONS DE JRP VERS !Rn
Remarque : Attention à l'ordre des indices : si on dérive par rapport à Xj la
dérivée par rapport à Xi, on obtient
â 2 f
Il
â â = fx·x··
Xj Xi
• 3
Bien noter le changement d'ordre entre Xi et Xj selon le formalisme choisi. La
logique de ces ordres différents vient de la position respective des indices avant
suppression des parenthèses dans (3.17) et dans (3.18) selon le formalisme choisi.
(l'importance de cette subtilité décroîtra beaucoup après le théorème de Schwarz)
Étude d'un exemple
Soit f la fonction des trois variables x, y, z définie par
xeY
f(x, y, z) = - .
z
Son ensemble de définition est l'ensemble des triplets de réels dont le troisième
terme est non nul ('D(f) = JRxlRxlR*). Construite à l'aide de fonctions indéfiniment
dérivables, et d'opérations élémentaires, f est évidemment partiellement dérivable
autant de fois que l'on veut. Nous allons calculer les dérivées partielles successives
de f jusqu'à l'ordre 3. Il est intéressant de prévoir à l'avance combien de calculs
cela demandera :
Il y a trois dérivées partielles premières, chacune d'entre elles pouvant se dériver
partiellement de trois façons, cela fait a priori 3 x 3 = 9 dérivées partielles
secondes et en poursuivant le raisonnement, cela fait a priori 27 dérivées partielles
troisièmes. On aura donc intérêt à bien s'organiser pour les calculs. On trouve
âj
eY
- 8 (x,y,z) = -
X
Z
â2J
âx2(x,y,z) = 0
âf
xeY
âf
xeY
- 8 (x,y,z) = -
- 8 (x,y,z) = - - 2
y
z
z
z
â 2 f
x eY
â 2 f
2x eY
â 2(x,y,z) = -
â 2(x,y,z) = - 3 -
y
z
z
z
&J
~
&J
&J
~
&J
- â â (x,y,z) = - = - â â (x,y,z) - â â (x,y,z) = -2 = - â â (x,y,z)
xy
z
yx
xz
z
zx
â 2 f
xeY
â 2 f
- â â (x,y,z) = - - 2 = - â â (x,y,z)
y z
z
z y
â 3 f
â 3 f
x eY
â 3 f
6x eY
âx3 (x, y, z) = 0
ây3 (x, y, z) =--;âz3 (x, y, z) = -~
â 3 f
â 3 f
â 3 f
âx2ây (x, y, z) = âxâyâx (x, y, z) = âyâx2 (x, y, z) = O
â3f
â3f
â3J
âx2âz (x, y, z) = âxâzâx (x, y, z) = âzâx2 (x, y, z) = O