3.5 DÉRIVATION PARTIELLE
103
Ô3f
eY
Ô3j
Ô3j
--r-ô (x,y,z) = - = ô ô ô (x,y,z) = ô ô 2(x,y,z)
ôyx
z
yxy
xy
ô 3 f
xeY
ô 3 f
ô 3 f
Ô 2ô (x,y,z) = - - 2 = ô ô ô (x,y,z) = ô ô 2(x,y,z)
y z
z
yzy
zy
ô 3 j
2eY
ô 3 f
ô 3 f
Ô 2ô (x,y,z) = - 3 = ô ô ô (x,y,z) = ô ô 2(x,y,z)
Z X
Z
ZXZ
XZ
ô 3 f
2xeY
ô 3 f
ô 3 f
Ô 2ô (x,y,z) = - 3 - = ô ô ô (x,y,z) = ô ô 2(x,y,z)
z y
z
zyz
yz
Ô3 j
eY
Ô3 f
Ô3 f
Ô3 f
ô ô ô (x,y,z) = -2 = ô ô ô (x,y,z) = ô ô ô (x,y,z) = ô ô ô (x,y,z)
xyz
z
xzy
yxz
yzx
ô 3 f
ô 3 f
ôzôxôy (x, y, z) = ôzôyôx (x, y, z).
Si vous avez fait honnêtement ces 3 + 9 + 27 = 39 calculs, vous vous êtes sans
doute aperçu que l'ordre des dérivations n'intervient pas. Ce n'est pas un hasard,
mais le résultat bien utile d'un théorème très important, le théorème de Schwarz,
qui permettra de réduire nettement le nombre de dérivations à faire : ici, par
exemple, il suffi.sait d'en faire 19. Attention, tout de même, ce théorème nécessite
des hypothèses supplémentaires sur f, mais ces hypothèses sont toujours satisfaites
pour les fonctions construites avec une seule formule n'utilisant que des fonctions
usuelles dérivables.
3.5.6 Le théorème de Schwarz
Théorème 3.43 (de Schwarz) Soit f une fonctions des p variables x1, ... , Xp.
Soient i et j deux indices distincts ( 1 :( i < j :( p). On suppose qu'il existe
ô 2 f
ô 2 f
une ouvert U c D(f) tel que les fonctions ÔxiÔXj et ÔXjÔXi soient définies et
continues sur U. Alors, pour tout Xo EU, on a
Preuve La démonstration de ce théorème repose sur l'application répétée
du théorème des accroissements finis pour les fonctions réelles d'une variable.
Rappelons ce théorème :
Si w est une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c E]a, b[
w(b) - w(a)
tel que
= w'(c).
b-a